證明一個反向微分方程
關於 4.5.1，我們如何得到 4.5.5？
請注意，要讓複製投資組合自籌資金，(1)就足夠了： $$ \lambda_t=\frac{V_t-h_tS_t}{B_t} $$ 我通過指定更改了符號 $ B_t $ 貨幣市場賬戶： $$ B_t=B_0e^{rt} $$ 因此，由於投資組合是自籌資金的，其動態為： $$ \begin{align} dV_t&=\left(\frac{V_t-h_tS_t}{B_t}\right)dB_t+h_tdS_t \[5pt] &=r(V_t-h_tS_t)dt+(\mu h_tS_tdt+\sigma h_tS_tdW_t) \end{align} $$ 現在，您可以藉錢（ $ V_t>h_tS_t $ ) 或借錢。如果貸款利率 $ r_1>0 $ 並藉 $ r_2<0 $ 是不同的，則上面的等式變為： $$ dV_t=r_1\max(V_t-h_tS_t,0)dt-r_2\min(V_t-h_tS_t,0)dt+h_tdS_t $$ 你借給 $ r_1 $ 如果您的對沖賬戶中有多餘的現金，即您的對沖價值 $ h_tS_t $ 低於導數的值 $ V_t $ , 否則你在 $ r_2 $ . 注意： $$ \begin{align} V_t>h_tS_t \Leftrightarrow &\ r_1\max(V_t-h_tS_t,0)-r_2\min(V_t-h_tS_t,0) \ &= r_1(V_t-h_tS_t)>0 \[3pt] V_t<h_tS_t \Leftrightarrow &\ r_1\max(V_t-h_tS_t,0)-r_2\min(V_t-h_tS_t,0) \ &= -r_2(V_t-h_tS_t)<0 \end{align} $$ 即， $ \max $ 和 $ \min $ 功能允許分離現金案件的過剩/赤字。
(1) 證明這個非常麻煩。基本上你需要證明： $$ B_td\lambda_t+d\lambda_tdB_t+S_tdh_t+dS_tdh_t=0 $$ 如果我找到時間（和精力），我會嘗試發布推導，否則您可以查看此答案以了解如何執行此操作。