數學金融中的 Lipschitz 條件

我有興趣嚴格解釋為什麼 Lipschitz 條件在隨機微積分中起著重要作用，尤其是在數學金融中。

具體來說，假設我們要計算的期望值 $ f(S_T) $ ， 在哪裡 $ f(S) $ 是一個具有一致 Lipschitz 界的標量函式，即存在一個常數 $ c $ 這樣

$$ \mid f(U) - f(V) \mid \leq c , \mid\mid U-V\mid\mid $$ 對於每個 $ U,V $ . 問題是，為什麼我們需要保證工具的收益必須滿足這個條件？如果這個條件不滿足，是不是就不能建構一個有效的定價模型呢？

在這種情況下，只是你的支付函式不應該在某個時候爆炸的概念——在數學上是嚴格的。

看看下面來自維基百科的圖片：

直覺地說，Lipschitz 條件（或 Lipschitz 連續性）確保您的支付函式始終完全保持在白色錐體之外，因此它不能例如在某一點變得無限陡峭。根據您要定價的支付函式的種類和系統的實施，這可以提高定價模型的效率。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/18383