馬爾可夫定價核心
我正在閱讀我正在學習的課程的講義中關於*馬爾可夫定價核心的內容，但我對 Ito 引理的應用有很大的疑問。*設置如下：
我們將定價核心定義為
$$ \xi_t = \xi(D_t,y_t,t) = e^{\int_0^t \delta(D_s,y_s)ds} T(D_t,y_t), \qquad \xi_0=1 $$ 在哪裡 $ D $ 和 $ y $ 伊藤程序是否遵循動力學 $$ dD_t = m(D_t,y_t)dt + \sigma(D_t,y_t) dW_{1t} $$ 和 $$ dy_t = \varphi(y_t)dt + v_1(y_t) dW_{1t} + v_2(y_t) dW_{2t} $$ 此外，我們假設定價核心遵循動態 $$ \frac{d\xi_t}{\xi_t} = -R_t dt -\lambda_{1t} dW_{1t}-\lambda_{2t} dW_{2t} $$ 現在，講義中的主張是，通過將 Ito 引理應用於 $ \xi_t $ , 一發現
$$ R(D,y) = \delta(D,y) - \frac{\mathscr{L} T(D,y)}{T(D,y)}, $$ 在哪裡 $ \mathscr{L} $ 是無窮小的生成器。 現在，我可以看到，在函式 $ \delta $ 在積分中不依賴於 $ D $ 和 $ y $ . 但在存在依賴的情況下（如講義中所述），使用 Ito 獲得的漂移採用更複雜的形式，我真的看不到任何取消條款。
您是否同意我的看法——因此我的講義中有錯字——或者我是否以錯誤的方式應用 Ito？
為了縮短符號，讓我們寫 $ T_t = T(D_t,y_t) $ 和 $ \delta_t = \delta(D_t,y_t) $ .
有兩種方法可以證明，事實上，
$$ \xi_t = \xi(D_t, y_t,t) = e^{-\int_0^t \delta_s ds}, T_t $$ 是（誰）給的 $$ \frac{d\xi_t}{\xi_t} = \left( -\delta_t + \frac{\mathscr{L} T_t}{T_t} \right)dt \quad+\quad \text{diffusion terms}. $$
第一種方式（更正式）
寫 $ \xi_t = g_t T_t $ ， 在哪裡 $ g_t = e^{-\int_0^t \delta_s ds} $ . 很容易證明動態 $ g_t $ 是（誰）給的
$$ \frac{dg_t}{g_t} = -\delta_t , dt $$ 因此，通過應用伊藤的產品規則，我們有 $$ d\xi_t = d(g_t T_t) = T_t dg_t + g_t dT + dg_t dT_t = -\delta_t \xi_t dt + g_t dT_t $$ 因為乘積項消失了 $ dg_t $ 沒有擴散。因此它遵循 $$ \frac{d\xi_t}{\xi_t} = \frac{d\xi_t}{g_tT_t} = -\delta_t dt + \frac{dT_t}{T_t} = \left( -\delta_t + \frac{\mathscr{L} T_t}{T_t} \right)dt \quad+\quad \text{diffusion terms} $$
第二種方式（不太正式）
功能 $ g_t = -\int_0^t \delta(D_s,y_s) ds $ 兩者都是恆定的 $ D_t $ 和 $ y_t $ ，從某種意義上說，最後一次實現的貢獻 $ t $ 積分結束的過程 $ [0,t] $ 幾乎肯定等於 $ 0 $ . 換句話說，
$$ \frac{\partial g_t}{\partial D_t} = \frac{\partial g_t}{\partial y_t} = 0 , . $$ 因此，結果如下，注意到 $$ \mathscr{L} \xi_t = g_t \mathscr{L} T_t \implies \frac{\mathscr{L} \xi_t}{\xi_t} = \frac{\mathscr{L} T_t}{T_t} $$
我認為你在區分積分時遇到了麻煩 $ \delta $ .
您應該記住，微分符號只是積分的符號： $ A_td B_t = A’_t dB’_t $ 只是意味著 $ \int_0^T A_td B_t = \int_0^T A’_t dB’_t $ .
尤其， $ d\int_0^t A’_s dB’_s = A’_t dB’_t $ 是重言式。所以
$$ d ( e^{\int_0^t \delta(s,X_s) ds} )= e^{\int_0^t \delta(s,X_s) ds} d (\int_0^t \delta(s,X_s) ds ) = e^{\int_0^t \delta(s,X_s) ds}\delta(t,X_t)dt $$ 將伊藤公式應用於產品 $ T $ 給出結果。