意味著恢復赫斯頓模型？
赫斯頓隨機過程模型是否有一個變體的名稱，其中不僅基礎波動性而且資產價格本身都是均值回歸的？我正在尋找對長期股票指數回報進行建模，我認為這顯示了波動性均值回歸和資產價格均值回歸行為。顯然，當這樣一個股票指數可以被認為（至少近似地）均值回歸到某個固定的長期波動性時，它也會均值回歸到年復利預期的資產價格點（實際價值約為 7% SP500）。
據我所知，赫斯頓模型對第二種行為沒有任何作用。如何修改模型以適應這種情況？
編輯：我試圖考慮以下模型。有什麼想法嗎？
$ dS_t = \sqrt{v_t}S_tdB_t^{(1)} + a_1(\mu_t - S_t) $
在哪裡 $ u_t := \mathbb{E}[S_t] $ 是根據預期年化複合在時間 t 的預期均衡， $ a_1 $ 是價格均值回歸的速度， $ B_t^{(1)} $ 是一維布朗運動，並且 $ v_t $ 是變異數過程 $ {v_t, t\geq 0} $ 定義為：
$ dv_t = \sigma\sqrt{v_t}dB_t^{(2)} + a_2(v_t - \nu) $
反過來， $ \sigma $ 是 vol 的常數 vol， $ B_t^{(2)} $ 是與相關的一維布朗運動 $ B_t^{(1)} $ 經過 $ Cov(B_t^{(1)},B_t^{(2)})=\rho $ , $ a_2 $ 是波動率均值回歸的速度，並且 $ \nu $ 是波動率的長期平均值。
編輯 2：我的意思是恢復回報，而不是固定的價格水平。
讓我們從帶有基礎價格的經典赫斯頓模型開始 $ S_t $ 和變異數 $ v_t $ ,
$$ \begin{align} \frac{dS}{S}&=\mu dt+\sqrt{v_t}dW_1\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2 \end{align} $$ 和 $ E(dW_1dW_2)=\rho dt $
從這裡開始，如果您想引入均值回歸價格水平，我可能會建議您對資產流程進行以下調整：
$$ dS/S=\kappa_S(\theta_S-lnS_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1 $$
粗略地說， $ e^{\theta_s+g(\theta,\kappa,\sigma,\rho)} $ 是長期價格水平，與 $ g $ 穩態變異數的一些修正項。
我們現在可以直接模擬這個設置，或者我們利用傅里葉變換機制進行線性跳躍擴散過程，知道 - 在變換下 $ y=lnS $ - 系統
$$ \begin{align} dy&=\kappa_S(\theta_S-y-0.5v_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2 \end{align} $$
顯然屬於線性過程。下一步是在 DPS2000 中執行分析。
編輯
在物理測量下，如果您想將收益建模為均值回歸，您應該能夠使用以下內容：
$$ \begin{align} dy&=(\mu_t-0.5v_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2\ d\mu&=\kappa_{\mu}(\theta_{\mu}-\mu_t)dt+\sigma_{\mu}dW_3 \end{align} $$
你甚至應該能夠指定之間的相關性 $ dW_1,dW_3 $ 和 $ dW_2,dW_3 $ .
不過，在風險中性度量下，您應該能夠引入均值回歸的無風險收益率過程。再次，參見上面的來源1。