蒙地卡羅模擬 Cox-Ingersoll-Ross 過程

CIR 過程由 SDE 給出

$$ \mathrm dr_t = \theta(\mu-r_t)\mathrm dt + \sigma\sqrt{r_t}\mathrm dW_t $$ 在哪裡 $ W_t $ 是布朗運動。我對模擬此過程軌蹟的有限差分方案感興趣，例如我嘗試了 Euler-Maryama 方案 $$ r_{t+\Delta t} \approx r_t + \theta(\mu - r_t)\Delta t + \sigma\sqrt{r_t}\xi_t\sqrt{\Delta t}, \quad \xi_t\sim\mathscr N(0,1) $$ 但是當我在做 $ \Delta t $ 越來越小，結果似乎不太好。事實上，我也對類似過程的更通用的模擬技術感興趣。有什麼建議麼？

1.加權米爾斯坦方案

我們猜測 $ {X_t}_{t\geq0} $ 由以下隨機微分方程描述

$$ dX_t=\mu(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t,,,,,,,,,,,,,(1) $$ 在這個方案的 Ito 版本下 $ (1) $ 變成 $$ dX_{t+\Delta t}=X_t+[\alpha,\mu(t,X_t)+(1-\alpha)\mu(t+\Delta t,X_{t+\Delta t})]\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t ,X_t},Z+\frac{1}{2}\sigma(t,X_t)\sigma’(t,X_t)\Delta t(Z^2-1) $$ 在哪裡 $ 0\leq\alpha\leq1 $ 是重量和 $ Z $ 是正態隨機變數。通過將加權米爾斯坦方案應用於 CIR 模型， $$ dr_t=\kappa(\theta-r_t)dt+\sigma\sqrt{r_t}dW_t $$ 我們有 $$ {{r}{t+\Delta t}}=\frac{{{r}{t}}+\kappa (\theta -\alpha,{{r}{t}})\Delta t+\sigma \sqrt{{{r}{t}}}\sqrt{\Delta t},{{Z}}+\frac{1}{4}{{\sigma }^{2}}\Delta t({{Z}}^{2}-1)}{1+(1-\alpha )\kappa ,\Delta t} $$ 2. 平衡隱式方案

該方案能夠保持變異數過程的積極性。它在Platen 和 Heath中定義為

$$ {{r}{t+\Delta t}}=\frac{{{r}{t}}(1+C(r_t))+\kappa (\theta -{{r}{t}})\Delta t+\sigma \sqrt{{{r}{t}}}\sqrt{\Delta t},{{Z}}}{1+C(t,r_t)} $$ 在哪裡 $$ C(t,r_t)=\kappa dt+\frac{\sigma \sqrt{\Delta t}|Z|}{\sqrt{r_t}} $$ 3.Pathwise Adapted Linearization Quadratic

它的收斂速度很快，特別是對於較小的值 $ \sigma $ . 離散化方案由下式給出

$$ {{r}_{t+\Delta t}}=r_t+(\kappa (\tilde{\theta} -r_t)+\sigma\beta_n\sqrt{r_t},)\left(1+\frac{\sigma\beta_n-2\kappa\sqrt{r_t}}{4\sqrt{r_t}}\Delta t\right)\Delta t $$ 在哪裡 $ \beta_n=\frac{Z}{\sqrt{\Delta t}} $ 和 $ \tilde{\theta}=\theta-\frac{\sigma^2}{4\kappa} $ 這個方案在Kahl 和 Jackel中提出。 4. 二次指數方案

CIR過程離散化的另一種方案是二次指數方案。有關詳細資訊，請下載。此外，轉換波動率方案很有用。

有很多方法可以模擬這樣的過程，這裡真正的問題是保持下一個模擬步驟的正性，因為高斯增量可能會導致負值，然後下一個“平方根”步驟的不確定值。

以下方法可能適合您更一般的需求，其中使用“一致域”馬爾可夫鏈方法“Labbé、Remillard、Renaud - 用於非負擴散過程的簡單離散化方案，並應用於期權定價”

有許多其他方法可以從這個過程中取樣，搜尋“Heston 模型模擬”，你應該找到所有你需要的。

最好的祝福

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/8114