多變數這個問題米噸=X噸是噸米噸=X噸是噸M_t=frac{X_t}{Y_t}
我正在分析此處發布的講座幻燈片中給出的問題（幻燈片 7-8 多元 Ito 引理範例）。
任何人都可以解釋如何 $ M_t $ 由伊藤公式計算得出。我無法得到相同的結果。
問題總結：給出了兩個Ito程序：
$$ \frac{dX_t}{X_t}=\mu_{x} dt + \sigma_{x} dZ^{1}{t} \quad \quad (1) $$ $$ \frac{dY_t}{Y_t}=\mu{y} dt + \sigma_{y} dZ^{2}_{t} \quad \quad (2) $$ 以便 $ M_t=\frac{X_t}{Y_t} $ 和瞬時波動率 $ \frac{dM_t}{M_t} $ 需要找到。
將 Ito 引理應用於函式 $ M_t = f(X_t,Y_t) = X_t/Y_t $ 給
$$ dM_t=\frac{\partial f(X_t,Y_t)}{\partial X_t} dX_t + \frac{\partial f(X_t,Y_t)}{\partial Y_t} dY_t + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial^2 f(X_t,Y_t)}{\partial X_t^2} (dX_t)^2+ 2 \frac{\partial^2 f(X_t,Y_t)}{\partial X_t \partial Y_t} dX_t \ dY_t + \frac{\partial^2 f(X_t,Y_t)}{\partial Y_t^2}(dY_t)^2 \right) \quad \quad (3) $$
這應該會導致這樣的結果： $$ dM_t=M_t \big{(} \mu_x + \mu_y - \rho \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 \big{)} \ dt + M_t \sigma_x dZ_t^1 - M_t \sigma_y dZ_t^2 \quad \quad (4) $$ $$ \frac{dM_t}{M_t}= \big{(} \mu_x + \mu_y - \rho \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 \big{)} \ dt + \sigma_x dZ_t^1 - \sigma_y dZ_t^2 \quad \quad (5) $$
將偏導數代入 eq(3)
$$ \frac{\partial f}{\partial X_t}=\frac{1}{Y_t}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial Y_t}=\frac{-X_t}{Y_t^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial Y_t^2}=\frac{2 X_t}{Y_t^3}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial X_t \partial Y_t}=\frac{-1}{Y_t^2} $$ 並用（1）和（2）代替應該給我等式（4）或（5），但我無法得到它，我得到類似的東西
$$ \frac{dM_t}{M_t} = \frac{dX_t}{X_t} - \frac{1}{2} \frac{dy}{y} X_t - \frac{1}{2} \frac{dy}{y} X_t dx \quad \quad (6) $$
誰能解釋一下最終的過渡 $ \frac{dM_t}{M_t} $ 方程？
所附幻燈片中的內容是正確的。
但是，你寫的不正確。
環境 $ M_t=\frac{X_t}{Y_t} $ ，並且應用 Ito 公式將導致：
$$ dM_t=\frac{dX_t}{X_t} M_t -\frac{dY_t}{Y_t} M_t + M_t \frac{d<Y>_t}{Y^2_t}-\frac{d<X,Y>_t}{Y^2_t} $$ 在您的情況下為您提供：
$$ dM_t = (\mu_x dt+\sigma_x dZ^1_t)M_t - (\mu_y dt+\sigma_y dZ^2_t)M_t+M_t\sigma^2_y dt - \frac{\rho \sigma_x X_t \sigma_y Y_t dt}{Y_t^2} $$ 簡化後會導致您：
$$ \frac{dM_t}{M_t} = (\mu_x -\mu_y -\rho\sigma_x\sigma_y +\sigma_y^2) dt + \sigma_x dZ^1_t - \sigma_y dZ^2_t $$