幾何布朗運動中的負值

GBM（幾何布朗運動）

$ \frac{dx}{x} = \mu dt + \sigma dW $

解決

$ x_t = x_o e^{(\mu - \sigma^2)t + \sigma W_t} $

從解中可以看出 $ x_t $ 不能變成負數。但是，從 SDE 中並不清楚。事實上，如果我使用 SDE 進行模擬，對於某些參數組合，x 經常會變為負數。

是非否定性 $ x_t $ 僅在情況下有效 $ dt->0 $

這是一個模擬：

我同意模擬中的錯誤公式，但我認為我理解這個問題。這是我的看法：

SDE 似乎允許 x 為負值的原因是因為 dW 可以是一個很大的負數，因此可以將 x 從正值移動到負值。如果這是混淆，那隻有在離散情況下才合理。

做一個思想實驗。想像在離散情況下 x 從正到負的轉變點。現在，為了更接近連續情況，您可以減小 dt 並想像 x 首先從正變為零，然後變為負。但是您的 SDE 聲明 dx = x 乘以某個值。所以當x->0時，dx也->0。這應該有助於您了解負值僅來自其他連續過程的離散化。

現在，如果您在模擬中修正公式並使其 E3= E2+ D2E2 （而不是您使用的 D2+ D2E2），如果 sigma 真的很大並且 dt 不夠小，您仍然可以獲得負值。但是嘗試改變相對於 sigma 的 dt，你會發現更難得到負值。此外，excel 可能會限制你可以走多小。

希望能幫助到你。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/43750