非套利理論和風險溢價的存在

考慮一個機率過濾空間 $ (\Omega, \mathcal F, \mathbb F, \mathbb P) $ ， 在哪裡 $ \mathbb F = (\mathcal F_t)_{0\leq t\leq T} $ 滿足習慣性條件並由 $ 1 d $ - 布朗運動（與 $ \mathcal F_T = \mathcal F $ ).

另外，考慮一個利率為零的金融市場， $ r=0 $ ，以及風險資產的動態 $ S $ 是（誰）給的

$$ S_t= S_0 + \int_0^t \mu_s ~ds +\int_0^t \sigma_s ~dW_s \quad , t \geq 0 $$ 在哪裡 $ t \in [0,T] \mapsto \mu_t $ 和 $ t \in [0,T] \mapsto \sigma_t \geq 0 $ 是確定性和連續性的函式。

顯示：

1. 如果不存在套利機會假設得到驗證，則 $ B:={t \in [0,T] : \sigma_t=0 \ \text{and} \ \mu_t \neq 0} $ 是一個 Lebesgue 零測度集（即， $ \int_0^T\mathbf1_{t \in B} dt=0 $ ).
2. $ \nu_\sigma(O):= \int_0^T\mathbf1_{t \in O}\sigma_t ~dt $ 占主導地位 $ \nu_\mu (O):= \int_0^T\mathbf1_{t \in O} \mu_t ~dt $ ， 在哪裡 $ O $ 是一個無聊的人 $ [0,T] $ （ IE， $ \nu_\mu \ll \nu_\sigma $ ) 並從中推斷出有一個可測量的函式 $ \lambda $ 這樣 $ \mu = \sigma \lambda $ .

對於第一個荒謬的推理，您可以通過投資（或根據 $ \mu $ ) 的時候 $ \sigma $ 為空，或者如果您願意盡快 $ t $ 在 $ B $ （這不是由假設設置的 Lebesgue 可忽略集），這是荒謬的，因為無套利成立。有待證明的細節是，這種策略是可以接受的。

對於第二個問題，第一部分一做完，就只是勒貝格分解定理的應用。

對於第一部分，作為任何 borelian 集，使得 $ \nu_\sigma(O):= \int_0^T\mathbf1_{t \in O}\sigma_t dt $ 不占主導地位 $ \nu_\mu (O):= \int_0^T\mathbf1_{t \in O} \mu_t dt $ 包含在 $ B $ 並作為 $ B $ 是零機率，結論成立。

最好的祝福

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/7697