隨機波動率模型中波動率的非恆定波動率
在為金融衍生品定價時，我們通常首先假設股票價格的波動性是恆定的。
$$ \mathrm{d}S(t) = \alpha S(t) \mathrm{d}t + \sigma S(t) \mathrm{d}W(t)\text{.} $$
波動性本身， $ \sigma $ , 可以建模為一個隨機過程，但是，就像在 Heston 模型中一樣：
$$ \mathrm{d}S(t) = \alpha S(t) \mathrm{d}t + \sqrt{\upsilon(t)} S(t) \mathrm{d}W_1(t) $$
$$ \mathrm{d}\upsilon(t) = \kappa (\theta(t)-\upsilon(t)) \mathrm{d}t + \xi \sqrt{\upsilon(t)} \mathrm{d}W_2(t)\text{.} $$
可以在此處找到包含隨機波動率的其他模型。
然而，我們可以繼續前進，並對待 $ \xi $ 在上面作為一個隨機過程。這可能被認為是“波動率的隨機波動”。
$$ \mathrm{d}S(t) = \alpha S(t) \mathrm{d}t + \sqrt{\upsilon(t)} S(t) \mathrm{d}W_1(t) $$
$$ \mathrm{d}\upsilon(t) = \kappa (\theta(t)-\upsilon(t)) \mathrm{d}t + \sqrt{\xi(t)} \sqrt{\upsilon(t)} \mathrm{d}W_2(t)\text{.} $$
$$ \mathrm{d}\xi(t) = \ldots $$
這個過程可以無限重複，但我最關心的是這第三步是否是個好主意。是否有（合理的）模型允許波動率的波動性本身是一個隨機過程？有沒有人研究過這樣的模型？
除了評論，我認為 $ \xi $ 在 Stochastic Local Vol (SLV) 模型中有一個重要的案例。一旦針對普通市場進行了校準，本地波動率 (LV) 和隨機波動率 (SV) 在匹配隱含波動率的動態方面沒有提供額外的靈活性。這不會隨著製作而改變太多 $ \xi $ 本身隨機。例如，障礙和接觸的價格往往被 LV 低估，而被 SV 高估。
在 SLV 中，主要是 ( $ \xi $ ) vol 的 vol 和相關性 ( $ \rho $ ) 控制 LV 和 SV 的混合。因此，適當校準混合參數將使您能夠緊密匹配市場報價。LV 和隨機 SV 是簡單的退化情況，其中混合分數僅使用一個或另一個（例如，如果 $ \xi = 1 $ , SLV 變成純 SV)。
但是這裡有一個問題；您需要（可靠的）價格來校準異國情調的期權。例如上面提到的障礙選項。