獲得由隨機遊走形成的維納過程的漂移
我試圖了解幾何布朗運動方程是如何從隨機遊走中形成的。我正在關注“金融市場統計”一書，但我正在努力了解如何從預期值中找到偏差。我了解隨機遊走 $ \left { X_n; n \geq 0 \right } $ , $ E(X_t) = n(2p-1) \cdot \Delta x $ 在哪裡 $ p $ 是增加隨機變數的機率 $ \Delta x $ 那對於 $ t = n \Delta t $
$$ E(X_t) = (2p-1) \cdot t \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ 然而這本書聲稱對於
$$ \Delta t \rightarrow 0, \Delta x = \sqrt{\Delta t}, p = \frac{1}{2} \left( 1+\mu \sqrt{\Delta t} \right) $$我們得到 $ \forall t $ $ E(X_t) \rightarrow \mu t $ . 這個結果是如何得到的？在本書的前面，它建議選擇這些值可能是為了防止變異數收斂到 $ 0 $ ，但是我不明白為什麼 $ \Delta x = \sqrt{\Delta t} $ 尤其是我們為什麼選擇 $ p = \frac{1}{2} \left( 1+\mu \sqrt{\Delta t} \right) $ .
這裡 Δx 必須在偏差的意義上，並且作為偏差的度量 √Δt 非常適合，因為它是增量的標準偏差。由於這不是一個對稱的過程，它有一個漂移（上或下），這意味著在任何方向上的機率都是傾斜的。兩點之間的時間間隔越大，X 的路徑偏離它的平均值就越大。μ應該代表分佈的偏度，如果X有上漂，那麼上移的機率就大，“大”是由μ自己決定的。我猜，以這種方式選擇 p 只是為了獲得平均結果。因為增量的真實分佈是正態分佈的，不可能是均值的線性函式。