最優策略問題（使用 Jensen 不等式）
我在 Samuelson 模型中有一個策略，零安全率定義為
$$ Z_t^{\Pi}=\frac{X_t^{\Pi}}{X_t^{\rho}} \quad \quad (1) $$ 在哪裡 $$ \frac{dX_t^{\Pi}}{X_t^{\Pi}} = \mu \pi dt + \sigma \pi \ dW_t \quad \quad (2) $$ $$ \frac{dX_t^{\rho}}{X_t^{\rho}} = \mu \rho dt + \sigma \rho \ dW_t \quad \quad (3) $$ 什麼給出了以下動態
$$ \frac{dZ_t^{\Pi}}{Z_t^{\Pi}} = (\mu -\sigma^2 \rho )(\pi - \rho) dt + \sigma (\pi - \rho)\ dW_t \quad \quad (4) $$ 為了證明 $ \rho=\frac{\mu}{\sigma^2} $ 是最優策略
$$ \max_{\Pi} E [ logX_T^{\Pi}] \quad \quad (5) $$
使用 (1)、對數性質、Jensen 不等式和上鞅性質，我可以推導出以下不等式 $$ E \big{[} log(X_t^{\Pi}) \big{]} \leq E \big{[} log(X_t^{\rho}) \big{]} \quad \quad (6) $$ 我的問題是不等式（5）如何暗示最優策略是 $ \rho=\frac{\mu}{\sigma^2} $ ?
我認為問題是
$$ \max_{\pi} E\left(\ln Z_T^{\Pi} \right). $$ 注意 $ \ln Z_t^{\Pi} = \ln X_t^{\Pi} -\ln X_t^{\rho} $ . 而且， $$ \begin{align*} d\ln Z_t^{\Pi} &= d\ln X_t^{\Pi} -d\ln X_t^{\rho}\ &=\Big[\big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big) - \big(\mu \rho- \frac{1}{2}\sigma^2 \rho^2\big) \Big]dt + \sigma(\pi-\rho)dW_t. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} E\left(\ln Z_T^{\Pi} \right) = \Big[\big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big) - \big(\mu \rho- \frac{1}{2}\sigma^2 \rho^2\big) \Big]T. \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} \max_{\pi}E\left(\ln Z_T^{\Pi} \right) &= \max_{\pi}\Big[\big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big) - \big(\mu \rho- \frac{1}{2}\sigma^2 \rho^2\big) \Big]T\ &=\max_{\pi}\Big[-\frac{1}{2}\sigma^2\big( \pi - \frac{\mu}{\sigma^2} \big)^2 + \frac{1}{2}\mu^2- \big(\mu \rho- \frac{1}{2}\sigma^2 \rho^2\big) \Big]T, \end{align*} $$ 這是一個二次函式的最大化問題 $ \pi $ . 很明顯，最大值是在 $ \pi = \frac{\mu}{\sigma^2} $ .
編輯
考慮問題 $ \max_{\pi}E\left(\ln X_T^{\Pi} \right) $ . 注意
$$ \begin{align*} d\ln X_t^{\Pi} = \big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big)dt + \sigma \pi dW_t. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} \max_{\pi}E\left(\ln X_T^{\Pi} \right) &= \max_{\pi}\big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big)T\ &=\max_{\pi}\Big[-\frac{1}{2}\sigma^2\big( \pi - \frac{\mu}{\sigma^2} \big)^2 + \frac{1}{2}\mu^2 \Big]T, \end{align*} $$ 這又是一個二次函式的最大化問題 $ \pi $ ，並且最大值在 $ \pi = \frac{\mu}{\sigma^2} $ .