Ornstein-Uhlenbeck 過程——按部分集成
在推導模擬 Ornstein-Uhlenbeck 過程的隨機微分方程的解時，Paul Wilmott（Paul Wilmott on Quantitative Finance，第 4 章，第 87 頁）執行以下部分積分（ $ X $ 是正常的）：
$$ \int_0^t e^{\gamma(s-t)} , dX(s) = X - \gamma \int_0^t e^{\gamma(s-t)}X(s) , ds $$
我試圖通過使用以下微積分結果來複製這個結果：
$$ u=e^{\gamma(s-t)} \implies du = \gamma e^{\gamma(s-t)} , ds $$ $$ dv = dX(s) \implies v = X(s) $$
然後，我們可以寫
$$ \int_0^t u, dv = u,v|_0^t - \int_0^t v , du = X(1-e^{-\gamma t})-\gamma \int_0^t e^{\gamma(s-t)}X(s) , ds $$
這與他原來的解決方案不同。我的錯誤在哪裡？在隨機微積分的背景下，還有其他方法可以按部分評估積分嗎？
首先，如果 $ u=e^{\gamma (s-t)} $ 然後 $ \frac{du}{ds} = \gamma e^{\gamma(s-t)} \iff du=\gamma e^{\gamma(s-t)} ,ds $ . 現在，在 Ornstein-Uhlenbeck 過程中 $ X_t $ 是一個維納過程並且滿足 $ X_0 = 0 : : \text{a.s.} $ （見這個和這個）。然後，上面指定的按部分積分公式中的第一項為您提供：
$$ uv\vert^t_0 = e^{\gamma (t-t)} X_t - e^{\gamma (0-t)} X_0 = X_t $$
總之，我們得到： $$ \begin{align} \int_0^t u : dv &= uv\vert^t_0 - \int_0^t v : du\ &= X_t - \int_0^t X(s) \gamma e^{\gamma(s-t)} ,ds\ &= X_t - \gamma\int_0^t e^{\gamma(s-t)} X(s) ,ds \end{align} $$
我相信這應該是它的精髓。