證明經驗（一個W(t)-0.5一個2t)經驗(一個在(噸)−0.5一個2噸)exp(aW(t)-0.5a^2t)是鞅
我試圖證明這一點 $ Z(t)=\exp(aW(t)-0.5a^2t) $ 是鞅 $ W(t) $ 是一個維納過程並且 $ a $ 是一個常數。這是我的嘗試：
$$ E[Z(t+s)] = E\left[\exp\left(aW(t+s)-0.5a^2(t+s)\right)\right]. $$
有人告訴我我們可以寫 $ \exp(aW(t+s)) $ 作為 $ \exp(aW(t)+aW(s)) $ ，誰能解釋為什麼會這樣？
讓 $ (W_t) $ 是一個標準的布朗運動和 $ a>0 $ . 我們定義 $ X_t=e^{aW_t-\frac{1}{2}a^2t} $ . 然後，過程 $ (X_t) $ 是適應和可積的，這是成為鞅的前兩個條件。最後，對於任何 $ s<t $ , $$ \begin{align*} \mathbb{E}\left[ X_t\mid\mathcal{F}_s\right] &= \mathbb{E}\left[ e^{aW_t-\frac{1}{2}a^2t}\mid\mathcal{F}_s\right] \ &= e^{-\frac{1}{2}a^2(t-s)}\mathbb{E}\left[ e^{aW_t-\frac{1}{2}a^2s}\mid\mathcal{F}_s\right] \ &= e^{-\frac{1}{2}a^2(t-s)}\mathbb{E}\left[ e^{a(W_t-W_s)}e^{aW_s-\frac{1}{2}a^2s}\mid\mathcal{F}_s\right] \ &= e^{-\frac{1}{2}a^2(t-s)}\mathbb{E}\left[ e^{a(W_t-W_s)}\right] e^{aW_s-\frac{1}{2}a^2s} \ &= e^{aW_s-\frac{1}{2}a^2s}\ &= X_s. \end{align*} $$ 注意增量 $ W_t-W_s\sim N(0,t-s) $ 獨立於 $ \mathcal{F}_s $ 因此對 $ \mathcal{F}_s $ 可以丟棄。此外， $ \mathbb{E}\left[ e^{a(W_t-W_s)}\right]=e^{\frac{1}{2}a^2(t-s)} $ . 另一方面， $ W_s $ 是 $ \mathcal{F}_s $ 可測量的（即在時間已知的 $ s $ 因此可以從條件期望中取出。