隨機過程
使用伊藤引理證明隨機過程是鞅
假設一個 Wiener 過程 W 和一個有界 F 調整隨機過程 a。證明以下過程是 F 上的鞅
$$ X(t)=(\int_{0}^{t}a(s)dW(s))^{2}-\int_{0}^{t}a^{2}(s)ds,\ t\geq0 $$
有人可以幫我完成上述練習嗎？我試圖應用 Ito 的引理，但我被卡住了
$$ d Y \left(t\right) := d \left[\int_0^t{a \left(s\right)\mathrm{d}W_s}\right] = a \left(t\right) dW_t $$ 請注意，由於 $ Y $ 是一個無漂移過程，它是一個局部鞅，並且因為 $ a $ 是有界的，一個真正的鞅。其二次變化由下式給出 $$ \langle Y \left(\cdot\right)\rangle_t = \int_0^t{a^2 \left(s\right)\mathrm{d}s} $$ 根據關於 Wiener 過程的隨機積分的定義。
使用伊藤引理， $$ d \left[\left[Y \left(t\right)\right]^2\right] = 2 Y \left(t\right) d Y\left(t\right) + d \langle Y \left(\cdot\right)\rangle_t $$ 減去時間積分的微分，即 $ a^2 \left(t\right) , dt $ , 去除漂移項，由於 $ d \langle Y \left(\cdot\right)\rangle_t $ 你就完成了。