關於連續凱利準則中f*二次形式的問題
我正在嘗試遵循Wikipedia上的 Optimal Kelly 推導來獲得兩種連續資產：一種是有風險的，一種是無風險的。
推導首先假設風險資產遵循 GBM（一種特殊類型的指數半鞅）。假設我們已經知道期望值的解 $ S_t $ （凸度調整和所有）。
然後推導表明我們的預期投資回報率 $ f $ 在風險資產和 $ (1-f) $ 在無風險資產中是：
(1)$$ {\displaystyle G(f)=f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}+(1-f)\ r} $$
如何做 $ G(f) $ 成為的二次函式 $ f $ ? 直覺地說，二次形式更有意義，因為否則優化線性 $ f^* $ 將規定最大槓桿，從而確保 Gambler 破產。我的感覺是它來自伊藤的引理（或它的一些類似物）。
在發現方面，我遵循推導的其餘部分 $ f^* $ .
（伊藤引理證明的正確答案）
額外學分
但為什麼是 $ G(f) $ 不是以下？
(2)$$ G(f)= \ln\left(f,e^{(\mu -{\frac {\sigma^{2}}{2}})}\
- (1-f),e^r\right) $$
因為： $$ {\mathbb{E}[S_t]} = S_0,e^{(\mu -{\frac {\sigma^{2}}{2}})t} $$
即，風險資產和無風險資產的分數權重如何進入指數？
凱利準則旨在最大化終端財富對數的期望值。推導首先假設存在遵循幾何布朗運動的風險資產：
$$ \frac{,dS}{S} = \mu ,dt + \sigma ,dZ_t $$
這與不斷複利的無風險資產相結合：
$$ \frac{dB}{B} = r ,dt $$
因此，如果我們建立一個具有比例的兩者的投資組合 $ f $ 在風險資產和 $ 1-f $ 在無風險資產中，它的價值， $ G $ , 將遵循以下等式：
$$ \frac{,dG}{G} = \frac{(1-f),dB + f,dS}{G} = (1-f) r ,dt + f\mu ,dt + f\sigma ,dZ_t $$
換句話說，它的值將遵循帶有漂移的幾何布朗運動， $ (1-f)r + f\mu $ , 和變異數, $ f\sigma $ .
我們可以使用 Ito 引理找到時間相關的過程 $ \log(G) $ . 使用伊藤引理 $ f(G) = \log(G) $ 給出：
$$ \begin{align} ,d f(G) & = f’(G),dG + \frac{1}{2}f’’(G) (Gf\sigma)^2 ,dt \[3pt] &= \left((1-f) r ,dt + f\mu ,dt + f\sigma ,dZ_t\right) -\frac{1}{2}(f\sigma)^2,dt \end{align} $$
換句話說，我們的期望值為 $ \log(G) $ 1個時期後是 $ (1-f)r + f\mu -\frac{1}{2}(f\sigma)^2 $ . 很容易推導出 $ f^* $ 從這個公式。
如果你願意，我相信你可以把它與香農的惡魔聯繫起來，但我沒有在這裡做過。