關於伊藤引理的問題dW（噸）d在(噸)mathrm{d}W(t)
我是伊藤微積分的新手，所以如果問題很愚蠢，請原諒我。
讓 $ W(t) $ 是布朗運動和 $ f(W(t))=W(t)^2 $ . 如果我想計算差異 $ \mathrm{d}f(W(t)) $ ，伊藤引理產生： $$ \begin{align*} \mathrm{d}f(W(t))&=\frac{\mathrm{d} f(W(t))}{\mathrm{d} W(t)} \mathrm{d}W(t)+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^2 f(W(t))}{\mathrm{d} W(t)^2} \mathrm{d}W(t)^2 \ &=2W(t)\mathrm{d}W(t)+\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot \underbrace{\mathrm{d}W(t)^2}_{=\mathrm{d}t} \ &=2W(t)\mathrm{d}W(t)+\mathrm{d}t \end{align*} $$ 使用積分符號而不是微分符號我得到： $$ \begin{align} W(t)^2-W(0)^2&=2\int_0^tW(u)\mathrm{d}W(u)+\int_0^t\mathrm{d}t \ W(t)^2&=2\int_0^tW(u)\mathrm{d}W(u)+t \end{align} $$ 我假設到目前為止我的計算是正確的。但是，我想知道我們如何處理依賴於 $ \mathrm{d}W(t) $ . 例如， $$ W(t)\mathrm{d}W(t) $$ 據我了解，伊藤引理僅適用於涉及的函式 $ W(t) $ 並不是 $ \mathrm{d}W(t) $ . 根據上面的計算，我得出結論： $$ W(t)\mathrm{d}W(t)=\frac{1}{2}W(t)^2-\frac{t}{2} $$ 但是我們如何計算 $ W(t)\mathrm{d}W(t) $ 直接地 ？我是否誤解了某些東西，或者是否有其他方法可以處理此類功能？
提前致謝。
伊藤引理是形式的兩次可微函式 $ f(t,W(t)) $ . 你說 $ W(t)dW(t) $ - 這是非正式的符號，沒有數學意義。雖然一旦你放了積分符號，它在數學上就變得精確了。所以沒有什麼被稱為 $ W(t)dW(t) $ ， 但 $ I(t)=∫_0^{t}W(u)dW(u) $ 通過 Ito 積分的定義很好地定義。
計算這個積分的更基本的方法是將時間軸分解成多個片段，然後將這些片段相加：
$ W(t_j)[W(t_{j+1})-W(t_j)] $ 在所有 $ j $ , 並將限製作為切片數變為無限。這是您可以查找的標准證明。