具有正常增量和 n 個時間段的隨機遊走為什麼增量是(噸/噸)−−−−√(噸/n)sqrt{(t/n)}?

問題基本上在標題中。我發現有幾個消息來源表明 $ R_i = \sqrt{\frac{t}{n}} $ ，但我找不到取平方根背後的直覺。這似乎很關鍵，因為 $ \operatorname{E}\left[{R_i^2}\right]= \frac{t}{n} $ 並由此推導出布朗運動的變異數為 $ t $ .

我認為我的評論並不清楚，所以我將其放在答案中以獲得更多空間。布朗運動的變異數 z 為 $ t $ . （IE： $ E(z^{2}) = t $ ）。請注意 $ R_{i} $ 真的等於 $ \sqrt{\frac{t}{n}} \times \epsilon $ 在哪裡 $ \epsilon \sim N(0,1) $ . 我認為他們離開 $ \epsilon $ 因為變異數為 1，但如果我們這樣定義，一致性會更清晰。

根據定義，布朗運動被定義為當步長變為零時一堆隨機遊走的總和。所以，給定的定義 $ R_{i} $ ，你最終得到總和的變異數，即 $ \sum_{i = 1}^{n} \frac{t}{n} = n \times \frac{t}{n} = t $ . 因此，在極限情況下，當步長變為零時，n 次隨機遊走的總和與布朗運動一致，因為期望值仍然為零，變異數為 $ t $ .

我的直覺是這個詞 $ \sqrt{dt} $ , 是布朗運動性質的結果。布朗運動的總變化是無界的，因此 $ TV \to \infty $ . 然而二次變分是有界的並且 $ QV \to t $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/43195