反射原理
讓[Math Processing Error] $ (\Omega,\mathcal{F},P) $ 是一個機率空間並且 $ {W_t ∶ t ≥ 0} $ 是一個標準的維納過程。通過設置[Math Processing Error] $ \tau $ 作為停止時間並定義
[Math Processing Error]$$ \begin{align} W^(t)=\Big{\matrix{W_t,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t\leq\tau\cr2 W_{\tau}-W_t,,,,t>\tau} \end{align} $$ 為什麼 $ W^(t) $ 是標準維納過程嗎？我想通過反射原理解決它。它正確嗎？請幫助我
如果[Math Processing Error] $ \tau $ 是有限的，那麼從強馬爾可夫屬性兩條路徑 $ X_t = {W_{t+\tau} −W_\tau ∶ t\geq 0} $ 和 $ −X_t = {−(W_{t+\tau} − W_\tau) ∶ t \geq 0} $ 是標準的維納過程並且獨立於 $ Y_t = {W_t ∶ 0 \leq t \leq \tau} $ ，因此兩者 $ (X_t, Y_t) $ 和 $ (X_t ,−Y_t) $ 具有相同的分佈。鑑於定義的兩個過程 $ [0, \tau] $ 和 $ [0, \infty) $ ，我們可以分別將它們粘貼在一起，如下所示：
[Math Processing Error]$$ \begin{align} (Y,X)\rightarrow{,(X_{t-\tau}+W_t)1_{{t>\tau}}+Y_t 1_{{t\leq\tau}}+:t\geq0} \end{align} $$ 因此，粘貼產生的過程[Math Processing Error] $ Y_t $ 到[Math Processing Error] $ X_t $ 具有相同的分佈，即 $ {W_t ∶ t \geq 0} $ . 相比之下，粘貼過程中產生的[Math Processing Error] $ Y_t $ 到 $ -X_t $ 是 $ {W_t^* ∶ t ≥ 0} $ 。因此， $ {W_t^* ∶ t ≥ 0} $ 也是一個標準的維納過程。