自籌資金條件 - 證明檢查
查找過程的表達式 $ \psi=(\psi(t),\ 0\leq t\leq T) $ , 所以投資組合 $ (\phi,\ \psi) $ 在以下情況下是自籌資金：
(1) $ \phi(t)= \int_{0}^{t}S_{s}ds $
(2) $ \phi(t)=S_{t} $
在哪裡 $ \phi(t) $ 是一個伊藤程序。
我的 Ito 產品規則中的錯誤在哪裡？我無法弄清楚交叉變體術語應該是什麼。任何幫助將不勝感激。
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鑑於： $$ V_t=A_t\psi_t + S_t\phi_t $$
我們有以下條件： $$ \phi_t= \int_{0}^{t}S_{s}ds $$
投資組合自籌資金的條件： $$ dV_t= \psi_t dA_t +\phi_t dS_t $$
輸入我們的條件： $$ \phi_t= \int_{0}^{t}S_{s}ds $$
$$ dV_t= \psi_t dA_t + (\int_{0}^{t}S_{s}ds)dS_t $$
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給定： $$ V_t=A_t\psi_t + S_t\phi_t $$
我們有以下條件： $$ \phi_t= S_t $$
所以我們現在有： $$ V_t=A_t\psi_t + S_t^{2} $$
請參閱下面的正確解決方案
讓我定義 $ B_t=A_t=e^{rt} $ $ - $ 避免將其與幾何平均值混淆 $ 1/t\int S_u\text{d}u $ . 您的投資組合價值是：
$$ V_t =\psi_tB_t+\phi_tS_t $$ 為了自籌資金，我們需要強制執行以下等效條件之一： $$ \begin{align} & \text{[1]} \quad \text{d}V_t =\psi_t\text{d}B_t+\phi_t\text{d}S_t \[3pt] & \text{[2]} \quad B_t\text{d}\psi_t+\text{d}\psi_t\text{d}B_t+S_t\text{d}\phi_t+\text{d}\phi_t\text{d}S_t=0 \end{align} $$ 您尚未為資產指定任何動態 $ S_t $ 但我們將假設交叉項 $ \text{d}t\text{d}S_t $ 等於 $ 0 $ 這適用於所有常見模型，例如 Black-Scholes 或 Heston。我們還將假設該過程 $ \psi_t $ 是擴散：
$$ \text{d}\psi_t=a_{\psi}(t,S_t)\text{d}t+b_{\psi}(t,S_t)\text{d}W_t $$ 情況1： $ \phi_t=\int_0^t S_u\text{d}u $
讓我們首先計算 $ \phi_t $ . 筆記 $ \phi_t=\phi(t) $ 是時間的函式 $ t $ 因此：
$$ \begin{align} \text{d}\phi_t=\text{d}\left(\int_0^tS_u\text{d}u\right)=S_t\text{d}t \end{align} $$ 因此：
$$ \begin{align} B_t\text{d}\psi_t+\text{d}\psi_t\text{d}B_t+S_t\text{d}\phi_t+\text{d}\phi_t\text{d}S_t & = B_t\text{d}\psi_t+\text{d}\psi_t\text{d}B_t+S_t^2\text{d}t+S_t\text{d}S_t\text{d}t \[3pt] & = B_t\text{d}\psi_t+rB_t\text{d}\psi_t\text{d}t+S_t^2\text{d}t \end{align} $$ 因為過程 $ \psi_t $ 是擴散，交叉項 $ \text{d}\psi_t\text{d}t $ 也應該為空，因此：
$$ \begin{align} B_t\text{d}\psi_t+rB_t\text{d}\psi_t\text{d}t+S_t^2\text{d}t & = B_t\text{d}\psi_t+S_t^2\text{d}t \end{align} $$ 所以：
$$ \psi_t=\psi_0-\int_0^te^{-ru}S^2_u\text{d}u $$ 案例二： $ \phi_t=S_t $
$$ \begin{align} B_t\text{d}\psi_t+\text{d}\psi_t\text{d}B_t+S_t\text{d}\phi_t+\text{d}\phi_t\text{d}S_t & = B_t\text{d}\psi_t+\underbrace{\text{d}\psi_t\text{d}B_t}_{0}+S_t\text{d}S_t+(\text{d}S_t)^2 \[3pt] & = B_t\text{d}\psi_t+S_t\text{d}S_t+(\text{d}S_t)^2 \end{align} $$ 所以：
$$ \psi_t=\psi_0-\int_0^te^{-ru}S_u\text{d}S_u-\int_0^te^{-ru}(\text{d}S_u)^2 $$ 如果我們假設 $ S_t $ 遵循形式的擴散：
$$ \text{d}S_t = a_S(t,S_t)\text{d}t+b_S(t,S_t)\text{d}W_t $$ 然後：
$$ \psi_t=\psi_0-\int_0^te^{-ru}\left(S_ua_S(u,S_u)+b^2_S(u,S_u)\right)\text{d}u-\int_0^te^{-ru}S_ub_S(u,S_u)\text{d}W_u $$