顯示和[乙噸|Fs]=乙s和[乙噸|Fs]=乙sE[B_t|mathscr{F}_s] = B_s為了乙噸=在3噸-3噸在噸乙噸=在噸3−3噸在噸B_t = W_t^3 - 3 t W_t
給定機率空間 $ (\Omega, \mathscr{F}, P) $ 和維納過程 $ (W_t)_{t \geq 0} $ , 定義過濾 $ \mathscr{F}_t = \sigma(W_u : u \leq t) $
讓 $ (B_t)_{t \geq 0} $ 在哪裡 $ B_t = W_t^3 - 3tW_t $ . 顯示 $ E[B_t|\mathscr{F}_s] = B_s $ 每當 $ s < t $ .
我認為這一切都歸結為操縱，因為某處有鞅
我的嘗試：
分裂成 $ E[W_t^3|\mathscr{F}_s] - 3E[tW_t|\mathscr{F}_s] $ 什麼都不做，因為那些傢伙不是鞅？因此，我嘗試將其拆分為：
$ E[W_t(W_t^2 - 3t)|\mathscr{F}_s] $
$ = E[W_t(W_t^2 - t -2 t)|\mathscr{F}_s] $
$ = E[W_t(W_t^2 - t) -2 tW_t)|\mathscr{F}_s] $
$ = E[W_t(W_t^2 - t)|\mathscr{F}_s] -2E[ tW_t|\mathscr{F}_s] $
$ W_t $ 不是 $ \mathscr{F}_s $ - 可測量的，所以我們不能把它拿出來……
$ tW_{1/t} $ 是布朗，因此是鞅，但我不知道 $ tW_t $ …
$ cW_{t/c^2} $ 是布朗，因此是鞅，但我認為我們不能設置 c = t …
請幫忙？
$$ \begin{align*} E\Big(W_t^3-3tW_t \mid \mathcal{F}_s\Big) &= E\Big((W_t-W_s+W_s)^3-3t(W_t-W_s+W_s) \mid \mathcal{F}_s\Big) \ &=E\Big((W_t-W_s)^3+W_s^3+3(W_t-W_s)^2W_s + 3 (W_t-W_s)W_s^2\ &\qquad \qquad -3t(W_t-W_s)-3tW_s \mid \mathcal{F}_s\Big) \ &=E\Big((W_t-W_s)^3\Big) + W_s^3+3W_sE\Big((W_t-W_s)^2\Big)\ &\qquad \qquad + 3W_s^2 E(W_t-W_s)-3tE(W_t-W_s)-3tW_s\ &=W_s^3+3W_s (t-s)-3tW_s\ &=W_s^3 -3sW_s, \end{align*} $$ 通過注意到 $$ \begin{align*} E\Big((W_t-W_s)^3\Big) = E(W_t-W_s) =0, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} E\Big((W_t-W_s)^2\Big) = t-s. \end{align*} $$