顯示[從噸,從時間+小時]=[從s,從小號+小時].這[從噸,從噸+H]=這[從s,從s+H].text{Cov}[Z_t,Z{t+h}]=text{Cov}[Z_s,Z{s+h}].
問題： 如果 $ X\sim\text{WN}(\mu,\sigma^2). $ 那麼讓 $ Z $ 是由定義的過程$$ \begin{equation} Z_t=\sum_{i=0}^na_iX_{t-i} \end{equation} $$對於一些係數 $ a_1,…,a_n\in\mathbb{R} $ 和 $ a_0=1. $ 顯示 $ \text{Cov}[Z_t,Z_{t+h}]=\text{Cov}[Z_s,Z_{s+h}] $ 然後 $ \mathbb{E}[Z_t]=\mathbb{E}[Z_{t+h}]. $
試圖：
$$ \begin{align} \text{Cov}[Z_t,Z_{t+h}]&=\mathbb{E}[Z_tZ_{t+h}]-\mathbb{E}[Z_t]\mathbb{E}[Z_{t+h}]\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_i^2X_{t-i}X_{t+h-i}\right]-\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_iX_{t-i}\right]\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_iX_{t+h-i}\right]\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_i^2X_{s-i}X_{s+h-i}\right]-\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_iX_{s-j}\right]\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_iX_{s+h-j}\right]\ &=\mathbb{E}[Z_sZ_{s+h}]-\mathbb{E}[Z_s]\mathbb{E}[Z_{s+h}] = \text{Cov}[Z_s,Z_{s+h}]. \end{align} $$ 我們可以替換 $ t $ 和 $ s $ 在 $ X_t $ 對於弱平穩時間序列，均值和變異數不隨時間變化。可以很容易地進行相同的推理來顯示期望。
**問題：**這是正確的嗎？感覺太容易了，我們可以像這樣替換預期內的東西。
注意：
$$ Z_tZ_{t+h} = \left(\sum_{i=0}^{n}a_iX_{t-i}\right) \left(\sum_{j=0}^{n}a_jX_{t+h-j}\right) \not =\sum_{i=0}^{n}a_i^2X_{t-i}X_{t+h-i} $$
是的，由於期望運算元是線性的，我們只需要：
$$ E[X_{t-i}]=E[X_{s-i}] $$
和
$$ E[X_{t-i}X_{t+h-j}] = E[X_{s-i}X_{s+h-j}] $$
為所有人持有 $ h $ , $ i $ ， 和 $ j $ .