證明 SDE 的兩個解是等價的
我有一個過程：
$$ dr_t = (W_t^1 - ar_t)dt +\sigma dW_t^2 $$ 在哪裡 $ W_t^1 $ 和 $ W_t^2 $ 是具有瞬時相關係數的布朗運動 $ \rho $ . 我想說明這個過程的解決方案可以寫成這樣的形式： $$ r_t = r_0 e^{-at}+ \int_0^tk(t,s)dW_s^1 + \sigma\int_0^th(t,s)dW_s^2 $$. 我從替換開始 $ \tilde{r}_t = e^{at}r_t $ 這使我找到了解決方案。 $$ r_t = r_0 e^{-at}+ \int_0^t e^{a(s-t)}W_s^1ds + \sigma\int_0^te^{a(s-t)}dW_s^2 $$ 這與第一個被積函式（ $ ds $ 代替 $ dW_s^1 $ ）。我以為我可以使用 Fubini 定理，但我不太確定如何使用。所以基本上我想知道的是如何證明這兩種解決方案是等價的。感謝您的任何建議。
這是我評論的略微擴展和更正（感謝@DaneelOlivaw）版本。
考慮一個過程 $ h(t) W_t $ ， 在哪裡 $ h $ 只是時間的函式。使用 Ito 乘積規則，這可以用積分形式表示為
$$ \begin{equation} h(t) W_t = \int_0^t h’(s) W_s \mathrm{d}s + \int_0^t h(s) \mathrm{d}W_s, \end{equation} $$ 我們用的地方 $ h(0) W_0 = 0 $ . 我們發現匹配的術語
$$ \begin{equation} h’(s) = e^{a (s - t)} \end{equation} $$ 因此
$$ \begin{equation} h(s) = \frac{1}{a} e^{a (s - t)}. \end{equation} $$ 重新安排產量
$$ \begin{eqnarray} \int_0^t e^{a (s - t)} W_s \mathrm{d}s & = & \frac{1}{a} W_t - \frac{1}{a} \int_0^t e^{a (s - t)} \mathrm{d}W_s\ & = & \frac{1}{a} \int_0^t \left( 1 - e^{a (s - t)} \right) \mathrm{d}W_s. \end{eqnarray} $$