顯示是噸是噸Y_t和是時間+小時是噸+HY_{t+h}是獨立的，如果X噸X噸X_t是高斯的
如果 $ Y_t=\sum_{i=0}^qa_iX_{t-i} $ 在哪裡 $ X_{t-i} $ 是具有均值的高斯 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma^2 $ ，我該如何證明 $ Y_t $ 和 $ Y_{t+h} $ 是獨立的（對於 $ |h|>q $ ) 使用聯合 pdf。我知道這個問題之前已經被問過（這裡）但答案不是我想要的，因為沒有顯示獨立性，但只有那個 $ Y_t $ 是高斯的。我想表現出獨立性 $ Y_t $ 和 $ Y_{t+h} $ 通過將他們的聯合 pdf 編寫為邊緣 pdf 的乘積。
嗨 Parseval：讓我在這裡給出一個答案，希望它很清楚。我把它修好了 $ \mu = 0 $ 不需要，但當然，仍然需要獨立的高斯假設。
(1) $ Y_t = \sum_{i=0}^{q} a_{i} X_{t-i} $
(2) $ Y_{t+h} = \sum_{j=0}^{q} a_j X_{t+h-j} $
$ h > q $ .
請注意，（2）中的最後一個（最早的）項是 $ a_{q} X_{t+h-q} $ 並且（1）中的第一個（最新）項是 $ a_{0} X_{t} $ . 因此，由於 $ h > q $ ，沒有雜訊項 $ Y_t $ 與任何雜訊項重疊 $ Y_{t+h} $ .
現在，共變異數的通常定義給出：
$ Cov(Y_{t}, Y_{t+h}) = E(\sum_{i=0}^{q} a_{i} X_{t-i} \sum_{j=0}^{q} a_{j} X_{t+h-j}) - E(\sum_{i=0}^{q} a_{i} X_{t-i}) E(\sum_{j=0}^{q} a_j X_{t+h-j}) $
因此，對於第一項，我們將兩個和相乘，然後取一個期望值。然後，對於第二個任期，我們有兩個期望相乘。
首先簡化第二項
考慮條款的期望，我們得到 $ \sum_{i=0}^{q} a_{i} \mu \sum_{j=0}^{q} a_j \mu = \mu^2 \sum_{i=0}^{q} a_{i} \sum_{j=0}^{q} a_j $ .
簡化這一點，結果是：
$ \mu^2 \sum_{i=0}^{q} \sum_{j=0}^{q} a_i a_j $
現在簡化第一個術語：
$ E(\sum_{i=0}^{q} a_i X_{t-i} \sum_{j=0}^{q} a_j X_{t+h-j}) = $
$ ( \sum_{i=0}^{q} \sum_{j=0}^{q} a_{i} a_j ) E(X_{t-i} X_{t+h-j}) $
但是我們之前已經證明了最後一個期望中的項沒有重疊，並且由於它們是獨立的高斯，我們可以將最後一個表達式重寫為 $ E(X_{t-i} X_{(t+h-j)}) = E(X_{t-i}) E(X_{(t+h-j)}) = \mu^2 $ .
所以，我們證明了第一項等於第二項，這意味著 $ Cov(Y_{t}, Y_{t+h}) = 0 $ .
請注意，儘管我需要假設 X_{t} 是獨立的高斯 RV，但這是 MA(q) 模型中的常見假設。
如果你要假設 $ X_t $ 是獨立的，然後寫 $ \vec{X} $ 作為向量 $ X_{t-q},\ldots,X_t,X_{t+h-q},\ldots,X_{t+h} $ . 然後 $ \vec{X} \sim \mathcal{N}\left(\mu \vec{1},\Sigma\right) $ ， 在哪裡 $ \Sigma $ 是對角矩陣。那麼兩者的向量 $ Y $ 值是 $ A \vec{X} $ 對於某些具有一行的塊矩陣 $ q+1 $ 的 $ a_i $ ， 然後 $ q+1 $ 零，然後 $ q+1 $ 零，然後 $ a_i $ 在第二行。很容易確認 $ A\Sigma A^{\top} $ 是對角線。