表明市場模型具有套利和描述鞅
這是我在學習金融數學導論時遇到的一個練習。
鍛煉 ：
考慮有限的樣本空間 $ \Omega = {\omega_1,\omega_2,\omega_3} $ 然後讓 $ \mathbb P $ 是一個機率測度，使得 $ \mathbb P[{\omega_1}] > 0 $ 對所有人 $ i=1,2,3 $ . 我們定義了一個由機率空間組成的一個時期的金融市場 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb P) $ 和 $ \mathcal{F} := 2^\Omega $ 和證券 $ \bar{S} = (S^0,S^1,S^2) $ 其中包括零風險安全 $ S^0 $ 和兩個證券 $ S^1,S^2 $ 有風險。他們當時的價值觀 $ t=0 $ 由向量給出 $$ \bar{S}_0 = \begin{pmatrix} 1\2\7 \end{pmatrix} $$ 而他們當時的價值觀 $ t=1 $ ，取決於場景是否 $ \omega_1,\omega_2 $ 或者 $ \omega_3 $ 發生，由向量給出 $$ \bar{S}_1(\omega_1) = \begin{pmatrix} 1\3\9\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_2) = \begin{pmatrix} 1\1\5\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_3) = \begin{pmatrix} 1\5\10 \end{pmatrix} $$ (a) 表明這個金融市場存在套利。
(b) 讓 $ S_1^2(\omega_3) = 13 $ 而其他值與以前相同。證明這個金融市場不存在套利並描述所有等價的鞅測度。
試圖 ：
**(a)**我們有一個價值過程被定義為：
$$ V_t = V_t^\bar{\xi} = \bar{\xi}\cdot \bar{S}t = \sum{i=0}^d \xi_t^i\cdot \bar{S}_t^i, \quad t \in {0,1} $$
在哪裡 $ \xi = (\xi^0, \xi) \in \mathbb R^{d+1} $ 是一種投資策略，其中數字 $ \xi^i $ 等於從證券的件數 $ S^i $ 在該時間段包含在投資組合中 $ [0,1], i \in {0,1,\dots,d} $ .
現在，我也知道要表明市場有套利，我需要顯示以下內容：
$$ V_0 \leq 0, \quad \mathbb P(V1 \geq 0) = 1, \quad \mathbb P(V_1 > 0) > 0 $$
我明白不同的 $ S $ 向量將被插入計算 $ V_t $ 但我真的無法理解 $ \xi $ . 什麼會 $ \xi $ 向量是？
任何幫助我了解什麼 $ \xi $ 真的是基於問題以及如何完成我的嘗試將不勝感激。
對於**(b)，表明它沒有套利與(a)**類似，因為我將僅表明其中一個條件不成立。鞅的東西呢？這是一種我們還沒有真正研究過的數學物質，如果可能的話，我真的很感激詳細說明。
參數 $ \xi $ 代表您的策略，即您在投資組合中持有的每種證券的數量 $ S^0 $ , $ S^1 $ 和 $ S^2 $ . 考慮以下策略： $$ {\xi}=(\xi^1,\xi^2,\xi^3)=(1.5,1,-0.5) $$ 然後： $$ \begin{align} & t=0: && \xi\bar{S}_0=\xi^0S_0^0+\xi^1S_0^1+\xi^2S_0^2 = 1.5+2-3.5=0 \ & t=1: && \xi\bar{S}_1(\omega_1)=1.5+3-4.5=0 \ &&& \xi\bar{S}_1(\omega_2)=1.5+1-2.5=0 \ &&& \xi\bar{S}_1(\omega_3)=1.5+5-5=1.5>0 \end{align} $$ 因此： $$ \xi\bar{S}_0=0, \quad \mathbb{P}(\xi\bar{S}_1\geq0)=1, \quad \mathbb{P}(\xi\bar{S}_1>0)>0 $$
因此市場存在套利。
對於問題 b)，你需要泛化以證明不存在投資組合 $ \xi $ 這允許套利（而不是像 a 中那樣僅僅找到一個反例）。