在新度量下模擬漂移的幾何布朗運動
關於漂移幾何布朗運動的模擬，我有一個非常基本的問題。
我們有標準的 Blackos Scholes 模型：
$ dS(t)=r S(t)dt+\sigma S(t) dW^{\mathbb{P}}(t) $ ， 在哪裡 $ W^{\mathbb{P}}(t) $ 是機率測度下的標準維納過程 $ \mathbb{P} $ .
如果我們想模擬這個，使用常量 $ \Delta t $ ，我們使用遞歸公式：
$ S_{t+1}=S_te^{(r-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t} Z_t } $ ， 在哪裡 $ Z_t \sim N(0,1) $ .
現在假設我們想要改變漂移，這樣：
$ W^{\mathbb{Q}}(t) = W^{\mathbb{P}}(t) - \int_0^t \theta_s ds $ 是下的布朗運動 $ \mathbb{Q} $ 這樣：
$ dS(t)=(r + \sigma \theta )S(t)dt+\sigma S(t) dW^{\mathbb{Q}}(t) $
現在這就是我不確定的地方。如果我想模擬漂移的過程，是否可以使用類似的方法：
$ S_{t+1}=S_te^{(r+\sigma \theta-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t} Z_t } $ ， 在哪裡 $ Z_t \sim N(0,1) $ .
還是我必須使用 $ Z_t \sim N(\theta, 1) $ ?
我在測量部分的變化方面沒有那麼強，所以這就是為什麼我有點不確定。非常感謝您的幫助。
謝謝
在新措施中，股票有漂移 $ r + \sigma \theta $ 所以是的，您只需按照您所說的進行漂移。如果 $ \theta $ 是時間相關的，它變得更加複雜。
請注意，在測量 $ Q $ , 動力學的形式為
$$ \begin{align*} dS_t = S_t \big[(r+ \sigma \theta_t) dt + \sigma dW_t^Q \big]. \end{align*} $$ 那麼，對於 $ \Delta>0 $ 足夠小， $$ \begin{align*} S_{t+\Delta} &= S_te^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta + \sigma \int_t^{t+\Delta} \theta_s ds + \sigma \left(W_{t+\Delta}^Q-W_t^Q\right)}\ &\approx S_te^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2 + \sigma \theta_t\right)\Delta + \sigma \sqrt{\Delta} Z}, \end{align*} $$ 假如說 $ \theta_t $ 是連續的，其中 $ Z\sim N(0, 1) $ .