模擬具有鞅條件的 GBM - Ito 過程向下移動
我想正確模擬一個 $ \mathcal{Q} $ - 鞅 $ S $ ，這是一個幾何布朗運動和一個過程的指數 $ X $ ,
$$ \begin{equation} X_t = X_0 + \mu t + \sigma B_t = X_{t-\Delta t} + \mu \Delta t + \sigma B_{\Delta t}, \end{equation} $$ 在哪裡 $ X_0 = 0 $ 和 $ B $ 是下的布朗運動 $ \mathcal{Q} $ , 這樣 $$ \begin{equation} S_t = S_0 \exp(X_t) = S_0 \exp(\mu t + \sigma B_t) = S_{t-\Delta t} \exp(\mu \Delta t + \sigma B_{\Delta t}), \end{equation} $$
和 $ \mu = -\sigma^2/2 $ 從鞅條件（無利率，或 $ r=0 $ ). 但是當我執行許多（例如N = 1000）模擬時 $ (X_t)_{t=\Delta t}^T $ 在一年的時間範圍內（ $ T=1 $ ，使用上面的第一個方程進行模擬） $ \Delta t = 1/250 $ , 的平均值 $ X_T $ 明顯低於 $ X_0 = 0 $ ，這意味著也 $ S_T $ 平均顯著低於 $ S_0 $ .
這對我來說似乎是可以理解的，因為我了解到上面的等式 $ S_t $ 是動力學的解 $ dS/S = \mu dt + \sigma dB_t $ , 並且，從 Ito 引理應用於後者，為了 $ S $ 成為鞅，漂流 $ \mu $ 過程的 $ X $ 需要相等 $ -\sigma^2/2 $ ; 因此 $ X $ 應該平均下降。
然而，從鞅性質 $ S $ , 我希望 $ S_T $ 平均水平 $ S_0 $ . 怎麼了？任何人都可以寫一個簡潔的概念說明嗎？
指數的平均值不是平均值的指數。由於凸性（Jensen 不等式），它總是更高。所以平均數之間沒有矛盾 $ X_T $ 為負數和平均值 $ S_T $ 存在 $ S_0 $ .
所以問題是：你的結果真的與你的預期有很大不同嗎？您是否嘗試過增加模擬次數？你知道如何計算信賴區間作為 N 的函式嗎？