隨機過程
SDE是價格過程演化的解決方案
我試圖解釋 SDE 解決方案的概念，即價格過程演變的模型。對於沒有金融工程背景的人，你會怎麼做？
考慮以下 SDE： 有條件 $ X_0=1 $ ,
$$ dX_t=\sigma(X_t)dW_t+b(X_t)dt $$
我的問題是關於常用語言背後的外行直覺：
價格過程的動態演化被建模為上述形式的隨機微分方程的解。
我必須用非常簡單的語言回答的一些問題是：
- 什麼是 SDE？
- SDE 的解決方案是什麼？
- 價格流程的演變是什麼？
- 為什麼我們將演化建模為 SDE 的解決方案？
- 與黑猩猩投擲飛鏢來預測一隻股票的進化路徑相比，是什麼讓這種模型成為一種合理的模型？
ps 解釋不涉及BM、Girsanov 型變換、等價鞅測度等，僅供參考。只為外行。
為方便起見，假設該過程 $ X_t $ 對應於某些資產的價格。
- 您給出的 SDE 是價格變化的機率模型（即 $ \mathrm{d}X_t $ ）。該模型假設存在一些確定性（非隨機）部分 $ b(X_t)\mathrm{d}t $ 它僅對應於隨時間的已知變化（可能是趨勢），並且存在隨機（隨機）部分 $ \sigma(X_t)\mathrm{d}W_t $ 這允許一些不可預測的、粗略的變化造成每日價格快速上下波動的噪音。
- SDE 的解是一個隨機過程，其行為與模型假設的一樣，即該隨機過程的變化可以分解為確定性和隨機分量。它滿足模型強加的屬性。
- 價格過程的演變對應於價格過程的時間序列或實現（路徑）。它僅顯示價格如何隨著時間的推移而發揮作用。
- 我們可以簡單地說“因為它工作正常”。隨機過程理論自然適合金融市場的背景。它允許我們建構“花哨”模型（例如通過 SDE），並為我們提供工具來找到這些模型的解決方案並使用模型進行進一步分析（例如計算未來價格的機率 $ X_T $ 大於門檻值 $ K $ ）。這反過來又有助於我們理解（即定價和對沖）金融產品（例如衍生品……交易數十億美元）。特別是，我們可以建構 SDE 來重現我們在市場上觀察到的資產的行為（例如，馬爾可夫屬性、均值回歸、肥尾、不對稱等）。這就是為什麼隨機微積分如此受歡迎，它適用於我們想到的應用程序。
- 我想不難爭辯說，股票價格、利率等的現代模型比黑猩猩投擲飛鏢可能出現的簡單隨機遊走稍微複雜一些。結合隨機波動、跳躍等，我們可以匹配許多程式化的事實並建立（希望）合理的模型來模擬金融市場的真實世界動態。這些模型（根據定義）從來都不是完美的，但肯定比黑猩猩更好。過去 50 年來數理金融的巨大成功應該證明，相當多的人認為使用這樣的模型和方法是相當值得的。