使用 Ito 引理求解 SDE

假設

$Z(t)=e^{-\int_0^t \theta’(s)dW(s)-\frac{1}{2}\int_0^t ||\theta(s)||^2ds}$

與$\theta()=\sigma^{-1}()[b()-r()]$，$\sigma()>0$和可逆和$W()$維納過程

還有一個過程$V^{w,h}$用於描述投資者的財富，使得

$\frac{V^{w,h}(t)}{B(t)}=w+\int_0^t\frac{h’(s)}{B(s)}\sigma(s)[dW( s)+\theta(s)ds]$

其中$0\le t\le T$，$w$是初始財富，$A(w)={h()/V^{w,h}()\ge 0}$幾乎可以肯定。

你能幫我證明$\frac{V^{w,h}(t)}{B(t)}Z(t)=w+\int_0^t\frac{Z(t)}{B(s) }[V^{w,h}(s)(\theta(s))’-h’(s)\sigma(s)]dW(s)$ ?

我是隨機微積分的新手，我不知道如何正確應用 Ito 引理

提示：

使用$\ln Z_t$的 Ito 定理得到：

$$ dZ_t = - \ theta_t Z_t dW_t $$

然後使用乘積規則計算$d(U_tZ_t)$。我引入了$U_t:=V_t B_t^{-1}$以保持事情清潔。

$$dU_t = h’_t B_t^{-1}\sigma_t dW_t + h’_t B_t^{-1}\sigma_t \theta_t dt $$

$$ dU_t\cdot dZ_t = -h’_t B_t^{-1}\sigma_t \theta_t Z_t dt $$

$$ d (U_tZ_t) = U_tdZ_t + Z_tdU_t + dU_t \ cdot dZ_t $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/65523