即期利率噸噸t

我知道即期利率動態的一般模型是

$$ dr(t)=\mu(r,t)dt+\sigma(r,t)dB(t) $$ 我的問題是，如果 $ P(t,T) $ 是當時的債券價值 $ t $ ，我將如何得出 $ dP $ ?

假設 SDE $ dr(t)=\mu(r(t),t)dt + \sigma(r(t),t) dB(t) $ 處於風險中性措施之下，並且有解決方案。

按施工 $ P(t,T) = E[e^{-\int_t^T r(u) du}] $ 在風險中性措施下。

因為你知道的模型馬爾可夫屬性 $ P(t,T) = P(r(t), t, T) $ 在哪裡 $ P(r, t, T) $ 是目前短期利率、時間和期限的函式，因此

$$ dP(t,T) = \frac{\partial P}{\partial r} dr(t) + \frac{\partial P}{\partial t} dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2} \sigma(r(t), t)^2 dt $$ 同樣在風險中性測量下的漂移 $ dP(t,T)/P(t,T) $ 是 $ r(t) dt $ ，因此上式簡化為 $$ dP(t,T) = P(t,T) r(t) dt + \frac{\partial P}{\partial r} \sigma(r(t), t) dB(t) $$ 如果你想走得更遠，你需要能夠計算 $ E[e^{-\int_t^T r(u) du}] $ 明確地，這對於某些模型（例如 Hull & White）是可能的。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/37349