關於破產理論的統計相關問題
我正在嘗試解決以下問題：
“一家保險公司的初始盈餘為 150，保費載入係數為 15%。假設索賠根據複合Poisson過程到達 $ (S(t))_{t≥0} $ 帶參數 $ λ = 10 $ 和索賠規模 $ X_i ∼ exp( 1/20 ) $ . 時間單位為 1 週。假設 1 個月是 4 週。
(a) 計算任何一天、一周和一個月的平均索賠次數，以及在接下來的 3 天內至少發生一次索賠的機率。還要計算在接下來的 3 天內至少發生 3 次索賠的機率。
(b) 令 t = 2 個月。計算均值和變異數 $ S(t) $ 和 $ U(t) $ .
（供不同符號用法的參考， $ S(t) $ 代表總索賠金額，即已支付的索賠，以及 $ U(t) $ 表示剩餘過程。 $ U(t) = u + ct - S(t) $ 在哪裡 $ c $ 為單位時間保費收入率， $ t $ 是時間）。
這個問題是作為關於破產理論主題的練習而出現的。我知道它與統計理論密切相關，但我希望我將這個問題發佈到相關頁面。我不太確定如何開始這個問題，所以任何解釋或指示都會有所幫助。如果有任何額外的需要澄清，請告訴我。謝謝！
這是破產理論中的經典克萊默倫德伯格模型。其中，索賠總數使用複合Poisson過程建模： $$ S(t) = \sum_{k = 1}^{N(t)} X_k, $$ 在哪裡 $ X_1 \sim Exp(0.05) $ .
盈餘由下式給出 $$ U(t) = u + c \cdot t - S(t), $$ 在哪裡 $ u $ 是初始盈餘（在你的情況下 $ u = 150 $ ） 和 $ c $ 等於 $ 15% $ .
(a) 部分只涉及索賠的總數，而不涉及規模。索賠的數量使用帶有參數的Poisson過程建模 $ \lambda = 10 $ . 這意味著之後的索賠總數 $ t $ 週具有帶參數的Poisson分佈 $ t\cdot \lambda $ .
因此，您需要知道解決 (a) 的所有問題都是Poisson分佈的特徵：如果 $ X \sim Pois(\lambda) $ 比預期的 $ X $ 等於 $ \lambda $ . 例如，一周內的預期索賠數量（ $ t = 1 $ ) 是隨機變數的期望值，它具有 $ Pois(10) $ 分配。因此，這個期望等於 10。
對於 (b) 請注意，您必須首先計算 $ S(t) $ . 您可以在有關複合Poisson過程的維基百科連結中找到適當的公式。的均值和變異數 $ U(t) $ 然後很容易計算： $$ \mathbb{E}[U(t)] = 150 + 0.15t - \mathbb{E}[S(t)], \quad Var(U(t)) = Var(S(t)). $$
我希望這是有幫助的。