隨機微分
讓 $ W_t $ 是一個維納過程。我很清楚 $ dW_t $ 是大小 $ \sqrt{dt} $ . 可以看出這是因為
$$ \mathrm{Var}(W_{t+\Delta} - W_{t})=\Delta. $$ 但是我可以真正寫嗎 $ (dW_t)^2 = dt $ ? 它看起來有點傻……你在左邊有一個隨機變數的平方，在右邊有一個****確定性變數。 請您澄清這是對還是錯，也許對這種特殊的身份做出解釋。
我可以100%澄清 $ (dw)^2 $ = $ dt $ 並建議你接受它作為一個事實。
像任何其他微分一樣，這個微分是根據它的積分來定義的：
$$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}(dW)^{2}\equiv\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}[W(t_{k+1})-W(t_{k})]^{2} $$ 在哪裡 $ t_{k}=t_{0}+k(t_{1}-t_{0})/n $ . 自從 $$ W(t_{k+1})-W(t_{k})=\sqrt{t_{k+1}-t_{k}}\xi_{k}=\sqrt{\frac{t_{1}-t_{0}}{n}}\xi_{k} $$ 我們有 $$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}(dW)^{2}\equiv\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{k}^{2} $$ 在哪裡 $ \xi_{0}, \xi_{1}, $ . . $ \xi_{n-1} $ 是獨立的 $ N(0,1) $ 變數。顯然，總和的平均值是 $$ E[\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{k}^{2}]=\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}E[\xi_{k}^{2}]=t_{1}-t_{0} $$ 由於 $ \xi $ 是獨立的，總和的變異數是 $$ Var[\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{k}^{2}]=\frac{(t_{1}-t_{0})^{2}}{n^{2}}\sum_{k=0}^{n-1}Var[\xi_{k}^{2}]=\frac{(t_{1}-t_{0})^{2}}{n^{2}}\sum_{k=0}^{n-1}E[(\xi_{k}^{2}-1)^{2}] $$ 對於單位高斯變數， $ E[(\xi_{k}^{2}-1)^{2}]=2 $ , 所以總和的變異數計算為 $$ Var[\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{k}^{2}]=\frac{2}{n}(t_{1}-t_{0})^{2} $$ 因此 $$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}(dW)^{2}\equiv\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n} $$ 總和在哪裡 $ S_{n} $ 有意思 $ t_{1}-t_{0} $ 和變異數 $ O(1/n) $ . 我們得出結論，在極限 $ n\rightarrow\infty $ ，這個積分是 $ t_{1}-t_{0} $ 確定無疑。因此
$$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}(dW)^{2}=t_{1}-t_{0} $$ 對於任何 $ t_0 $ 和 $ t_1 $ . 由於微分僅根據它們的積分來定義，我們可以將其重寫為
$ (dw)^2 = dt $