布朗運動的隨機微分方程

關於計算 SDE，我有兩個關於 Ito 引理的問題。這些例子很簡單，但我還沒有找到答案。

拿 $ W_t $ 作為標準布朗運動和 $ g(s) $ 作為一些功能 $ s $ . 假設所有規律等都得到滿足並採取 $ F $ 作為一些功能。我知道如果 $ F = \int_0^tg(s)dW_s $ ，則對應的 SDE 為 $ dF = g(t)dW_t $ . 但是，應用 Ito 的引理，我不確定這個 SDE 是如何得出的。我不確定下一部分：

• $ dF = \underbrace{\frac{\partial F}{\partial t}}{=g(t)dW_t}dt + \underbrace{\frac{\partial F}{\partial W_t}}{=g(t)}dW_t + \underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial W_t^2}}_{=0}dt = g(t)dW_tdt + g(t)dW_t = g(t)dW_t $

**問題1：**是 $ \frac{\partial F}{\partial t} = g(t)dW_t $ 正確的？還是應該為零？

現在拿 $ F=\int_0^tW_s^2dW_s $ . 我的方法是：

• $ dF = \underbrace{\frac{\partial F}{\partial t}}{=W_t^2dW_t}dt + \underbrace{\frac{\partial F}{\partial W_t}}{=W_t^2}dW_t + \underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial W_t^2}}_{=W_t}dt = W_t^2dW_t+W_tdt $

**問題2：**上例中的偏導數是否正確？

在隨機微積分中，只定義了隨機積分。微分形式只是一個符號。那是，

$$ dF=g(t)dW_t $$只是積分的另一種表達方式$$ F=\int_0^t g(s) dW_s. $$參見，例如，在這本書或這本書中，所有伊藤的引理都以整數形式表示。 對於您的問題，請注意 $ F $ 不是的函式 $ t $ 和 $ W_t $ ，也就是說，它不是形式 $ F(t, W_t) $ . 實際上，這取決於整個路徑 $ W_s $ 從 $ 0 $ 至 $ t $ . 那麼伊藤引理不能適用於 $ F $ . 你的兩個問題的申請都不正確。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/31109