隨機微分 - 伊藤的自籌資金組合公式
假設我有一個股票投資組合 $ (S) $ 和儲蓄賬戶（ $ \beta_t $ ) 那麼，值為
$$ V = a_t S_t + b_t \beta_t $$ 為了讓這個投資組合能夠自我複制，我們需要伊藤引理
$$ dV = a_t dS_t + b d \beta_t $$ 現在讓
$$ a_t = 2B_t, b_t = -t - B_t^2 - 20B_t, S_t = 10 + B_t, \beta_t = 1 $$ 和$$ B_t = \text{Brownian Motion at time t} $$ 我如何證明這個投資組合是否是自籌資金的？
我可以寫
$$ V = a_t S_t + b_t \beta_t = 2B_t(10+B_t) - (t + B_t^2) $$ $$ = 20B_t + 2B_t^2 - t - B_t^2 = 20B_t + B_t^2 $$ 自從
$$ S_t = 10 + B_t \to dS_t = dB_t ? $$ 和$$ \beta_t = 1 \to d \beta_t = 0 ? $$ 現在我很難評估 $ dV $ 在這些方面。有人可以幫忙嗎？
$$ dV = {….?} $$
投資組合是自籌資金的。你只是忘記了一個術語 $ b $ 和一個 $ -t $ 任期在 $ V $ :
$$ \begin{eqnarray} V_t &=& a_t S_t + b_t \beta_t = (2B_t ) (10+ B_t) + (- t - B_t^2 - 20B_t)1 \ &=& 20B_t + 2B_t^2 - t - B_t^2 - 20B_t \ &=& B_t^2 - t \end{eqnarray} $$ 應用伊藤引理 $$ \begin{eqnarray} dV_t &=& (2B_t dB_t + \frac{1}{2}2d\langle B,B\rangle_t) - dt \ &=& 2B_t dB_t \ &=& a_t dS_t + b_t d\beta_t \end{eqnarray} $$ 自從 $ dS_t = dB_t $ 和 $ d\beta_t = 0 $ ， 我們有 $$ \begin{eqnarray} dV_t &=& a_t dS_t + b_t d\beta_t \end{eqnarray} $$ 這是自籌資金投資組合的特徵。