嚴格局部鞅：它們背後的直覺是什麼？
一個過程 $ X_t $ 如果存在遞增的停止時間序列，則為局部鞅 $ {\tau_k,k=1,2,…} $ ， 和 $ \tau_k \to \infty $ 幾乎可以肯定，這樣每個停止的程序都是一個鞅。所有真鞅都是局部鞅，但反之則不成立。嚴格的局部鞅是不是真正的鞅的局部鞅。事實上，一個正的嚴格局部鞅是一個超鞅——即期望隨著地平線而減小。
在嚴格的量化金融中，局部鞅已經作為表現出波動性引起的平穩性的模型或描述金融泡沫的模型出現。
“無漂移 SDE”描述的所有 Ito 過程實際上都是局部鞅，但不是鞅（這讓許多人感到驚訝）。例如熟悉的幾何布朗運動 $$ dX_t = X_t\ dW_t $$ 是局部鞅和真鞅，而指數大於 1 的 CEV 模型 $$ dY_t = Y_t^\alpha\ dW_t \text{ (for given }\alpha > 1\text{)} $$ 是局部鞅，但不是真正的鞅。其實從 $ Y_0 $ 期望 $$ E[Y_t|\mathcal{F}_0] < Y_0 \text{ (for all }t>0\text{)} $$
我的問題是關於他們的動態和路徑背後的直覺：
- 有哪些定性特徵可以打破這樣一個過程的臨界性： $ \alpha $ 穿越1？
- 嚴格的局部鞅的路徑如何（與真正的鞅相比）？它們不是爆炸性的，它們沒有達到零，當我繪製它們時，我看不到任何特別“奇怪”或“不尋常”的東西。
- 為什麼即使我模擬這個過程（用歐拉）我得到一個負漂移，即使我將有限數量的零均值高斯相加（儘管嚴格的局部鞅只是一個連續的時間現象）？
這篇部落格文章討論了這些要點，但我正在尋找更高級和（如果可能的話）直覺的東西。
我認為要理解鞅/局部鞅的區別，它有助於引入第三類過程，即統一可積的鞅。我認為局部鞅和非均勻可積（真）鞅實際上非常相似。
一致可積鞅具有的關鍵性質是所謂的閉包性質。讓 $ M_t, 0 \leq t < \infty $ 是一致可積（UI）鞅。然後 $ M $ 有最後一個元素 $ M_\infty $ , 和擴展過程 $ M_t, 0 \leq t \leq \infty $ 是鞅，你可以計算 $ E[M_\infty | \mathcal{F}_t ] $ 得到鞅的所有中間值。我們知道，如果鞅不是一致可積的，那麼情況並非如此。
一個很好的例子實際上是幾何布朗運動，我稱之為 $ X_t $ . 我們幾乎可以肯定地知道， $ t \rightarrow \infty, X_t \rightarrow 0 $ , 雖然對於所有人 $ t $ $ E[X_t] = 1 $ . 在極限內，如 $ t \rightarrow \infty $ ，鞅失去質量。這種現象實際上與嚴格的局部鞅發生的事情完全相同。
考慮一些將單位間隔映射到正實數的函式，例如 $ f(x) = \tan x $ . 考慮過程 $ \widetilde{X}t := X{f(t)}, 0 \leq t \leq 1 $ . 您現在會注意到，在單位間隔上 $ [0,1] $ , $ \widetilde{X} $ 是嚴格的局部鞅。停止時間的序列可以看作是確定性數字，增加到 $ 1 $ .
我希望這個例子展示了嚴格的局部鞅和非均勻可積的鞅實際上是一樣的。關鍵的屬性是它們的匹配性不會延伸到“時間間隔的閉合”。發生這種情況是因為，在某處，您有一組不可統一積的隨機變數，因此在傳遞到極限時，您沒有連續性 $ L^1 $ .
回答幾個其他問題：
- 路徑是什麼樣的我認為我上面的討論表明，嚴格局部鞅的局部路徑行為和真正的鞅的局部路徑行為之間確實沒有區別。擊穿發生在極限。事實上，這就是這個名字的由來：在本地，本地鞅看起來確實像鞅。
- 模擬當你模擬時，你應該得到零漂移。在極限是質量將失去的地方。很難說，會不會有下溢的時候 $ Y $ 是小？
局部鞅成為真正鞅的一個定量障礙是可積性。一個例子如下： $ \int_0^t f(s) dB_s $ 在哪裡 $ B_s $ 是布朗運動並且 $ f $ 漸進可測量是一個嚴格的局部鞅，如果 $ (E\int_0^t |f(s)|^2 ds)^{\alpha/2}=\infty $ 對於一些 $ \alpha $ 之間 $ 0 $ 和 $ 1 $ . 這摘自李雪梅在 129 (2017) 65–68 中的“嚴格局部鞅：範例”的推論 4。