對停止時間和積分操縱的期望
考慮停止時間 $ \tau $ 表示第一個信用事件（例如違約）在緊湊間隔內發生的時間點 $ [0,T] $ .
考慮指標函式的期望， $ \mathbf{1}{{\tau\leq T}} $ ，在定義明確的過濾機率空間下， $ (\Omega,{F_t}{t\geq0},P) $ :
$$ E_P[\mathbf{1}_{{\tau\leq T}}] $$
我想通過修復來改變停止時間 $ \tau=s $ 在哪裡 $ s $ 變化在 $ [0,T]. $ 然後，
$$ E_P[\mathbf{1}{{\tau\leq T}}]=\int_0^T E_P[\mathbf{1}{{\tau=s}}]ds. $$
我的問題：
(1) 上述操作是否有效？如果是這樣，怎麼做？如果不是，為什麼？
（2）在什麼情況下，這樣的操縱有用嗎？
**** 附加編輯 ****
尚不清楚的是對上述等式的 RHS 的解釋。
我的理解是：
$$ E_P[\mathbf{1}_{{\tau\leq T}}]=P({\omega:\tau(\omega)\leq T}). $$
因此，這表示第一個信用事件發生在 $ [0,T]. $
現在，讓我們將一個移至 RHS：
$$ \int_0^T E_P[\mathbf{1}_{{\tau=s}}]ds=\int_0^T P({\omega:\tau(\omega)=s})ds. $$
那麼，這如何等同於原始等式的 LHS 呢？
對我來說，它讀到， $ P({\omega:\tau(\omega)=s}) $ 是第一個信用事件在某個時間發生的機率 $ s $ , 我們正在整合 $ s $ ? 我只是不明白這如何產生對第一次信用事件發生機率的等效解釋 $ [0,T]. $
讓我試著回答。您在問題中提到的術語經常出現在 CVA（信用估值調整）計算中。在 CVA 的上下文中，涉及信用事件的停止時間是交易對手違約的時間點（“交易對手”是指與某家銀行交易衍生品投資組合的某些金融或公司機構，因此該金融或法人機構是該衍生品投資組合的銀行“交易對手”）。CVA 基本上是為與該交易對手違約相關的信用風險提供保險的市場隱含成本。
通用 CVA 公式可以寫成如下（ $ Df(t) $ 是來自的折扣因子 $ t_0 $ 至 $ t $ , $ V(t) $ 是當時的投資組合價值 $ t $ , LGD 是“預設損失”。如果交易對手違約，您仍然可以追回" $ x $ %”的投資組合價值，然後 $ LGD = 1 - x $ ):
$$ CVA(t |\mathbb{F_{t_0}}) = \mathbb{E_Q} \left[ \int_{s=t_0}^{s=t} Df(s)* I_{(V_s>0)} * I_{(default_s)} LGD V(s) ds \right] = \ = LGD* \mathbb{E_Q} \left[ \int_{s=t_0}^{s=t} Df(s)I_{(default_s)} V(s)^+ ds \right] = \ = LGD* \int_{s=t_0}^{s=t} \mathbb{E_Q} \left[Df(s)I_{(default_s)} V(s)^+ \right] ds = \ = LGD* \int_{s=t_0}^{s=t} \mathbb{E_Q} \left[I_{(default_s)} \right]* \mathbb{E_Q} \left[ \tilde{V}(s)^+ \right] ds $$
以上， $ \tilde{V}(s) $ 是折現的投資組合價值。
現在有趣的術語是 $ \mathbb{E_Q} \left[I_{(default_s)} \right] $ ，如果對方在某個時間違約，則對等於“一”的指標函式的期望 $ s $ .
以我的經驗，很多人都對這個詞感到困惑。我喜歡思考這個術語的方式是告訴自己“交易對手只能在某個時間違約 $ s=t $ 如果它一直存活到時間 $ s = t_- $ ， 在哪裡 $ t_- $ 代表無限早於時間的時間點 $ t $ . 所以真的，這個詞 $ I_{(default_s)} $ 應該 $ I_{(default_s\cap survival(t_0,s_-))} $ .
換句話說，您在問題中提到的術語：
$$ E_P[\mathbf{1}{{\tau\leq T}}]=\int_0^T E_P[\mathbf{1}{{\tau=s}}]ds. $$
是交易對手在之前和包括時間之前的任何時間點違約的機率 $ T $ （或者，更一般地說，信用事件在之前發生的機率，包括 $ T $ ).
我認為停止時間符號不是那麼直覺。你寫的積分沒有錯，但我可能更喜歡重寫它：
$$ \int_{s=t_0}^{s=T} \mathbb{P}(Default_s|Survival_{s_-})*\mathbb{P}(Survival_{s_-})ds $$.
如果將積分離散化為 $ n $ 間隔，使得每個間隔都有長度 $ t_i - t_{i-1} $ . 對於每個這樣的時期 $ t_i - t_{i-1} $ ，您可以通過引導 CDS 曲線得到違約的條件機率。因此，遠期 CDS 點差為您提供（稍微簡化）：
$$ \frac{ CDS \left( t_{i-1},t_i \right)}{LGD} = \mathbb{P} \left(Default\left( t_{i-1},t_i \right)|Survival \left( t_0,t_{i-1} \right) \right) $$
和：
$$ 1 - \frac{ CDS \left( t_0,t_{i-1} \right)}{LGD} = \mathbb{P} \left(Survival \left( t_0,t_{i-1} \right) \right) $$.
所以最後，回答你的問題：
(1) 操縱有效。您可以對以預設停止時間作為參數的指標函式的期望求和（積分），因為您只是在時間上對違約機率進行積分。
(2) 什麼時候有用？例如，對於 CVA 計算。