測試一個過程（沒有漂移）是否是鞅
考慮過程
$$ Z(t)=\int_{0}^{t} \frac{u^a}{t^a}dW_u $$對於一些實常數 $ a $ 和 $ W_t $ 是一個維納過程。我想檢查這個過程是否是 $ F_t^W $ -鞅。我在 Bjork 的書中註意到引理 4.9，其中指出： 為了 $ g\in L^2 $ 和 $ X_t $ 定義為$$ X_t=\int_{0}^{t} g(u) dW_u $$是一個 $ F_t^W $ -鞅。
如果我們讓 $ g(z,t)=z^at^{-a} $ ; 然後我們可以使用引理得出結論 $ Z(t)=\int_{0}^{t} g(u,t)dW_u $ 是 $ F_t^W $ -鞅？
這引出了另一個問題： 我如何測試一個函式是否 $ g \in L^2 $
關於 Bjork，我參考了 Bjork 教科書**，連續時間金融中的套利理論（第 3 版）**
Bjoerk 書中的引理僅對函式有效 $ g(u) $ 不是為了功能 $ g(u,t) $ .
你可以做的是使用伊藤的公式。首先讓我們從流程開始
$$ X_t = \int_{0}^t u^a ; dW_u. $$ 這個過程可以寫成不同的形式
$$ dX_t = t^a dW_t. $$ 現在我們要導出的微分形式 $ Z_t = \frac 1 {t^a}X_t $ . 因此我們可以使用 Ito 公式 $ f(t,x) = \frac 1 {t^a}x $ :
$$ dZ_t = df(t,X_t) = f_t(t,X_t)dt + f_x(t,X_t)dX_t + \frac 12 f_{xx}(t,X_t) d[X]t $$ 這裡 $ f_t $ 分別 $ f_x $ 是的偏導數 $ f $ 關於 $ t $ 分別 $ x $ ， 和 $ f{xx} $ 是的二階偏導數 $ f $ 關於 $ x $ . 請注意，我們有 $ f_{xx}(t,x) = 0 $ , 這樣的微分形式 $ Z $ 可以簡化為 $$ dZ_t = - \frac a {t^{a+1}}X_t dt + \frac{1}{t^a} t^a dW_t = - \frac at Z_t dt + dW_t. $$ 要使 Ito 過程成為（局部）鞅，漂移部分必須等於零。所以， $ Z_t $ 是鞅當且僅當 $ a = 0 $ 在這種情況下 $ Z_t = W_t $ .