交易有彈性的股票
我遇到了以下問題，並試圖更好地理解它。我希望你能分享你的直覺。
對於給定的股票，您可以確定在接下來的 100 天內，它每天都會以相同的機率上漲 10% 或下跌 10%。你現在可以投資，但如果你選擇這樣做，你必須持有它整整 100 天。你會這樣做嗎？
一般來說，可以很容易地證明，在這個過程中任何一點的期望值都等於股票的初始值。但是，也可以證明預期的幾何增長率是負的。
忽略貨幣的時間價值等，股票的預期價值表明人們應該對交易無動於衷。然而，負幾何增長率表明，從長遠來看，人們會賠錢。
解釋這兩個值的正確方法是什麼？我覺得我誤解了他們告訴我們的內容，“悖論”有一個簡單的解決方案。如果股票上漲 11% 而不是 10%，你會進行交易嗎？你的答案會如何變化？
股票上漲的次數 $ S $ 100 天后服從二項分佈。為了計算股票的期望值，我們必須通過機率質量函式對值進行加權。100天后我們有 $ k $ 向上移動 $ 1+10% $ 和 $ 100-k $ 向下移動 $ 1-10% $ 即股票的價值是 $ S_0*(1+10%)^k*(1-10%)^{(100-k)} $ 有機率 $ {100}\choose{k} $ $ p^kp^{(100-k)} $ 在哪裡 $ p=\frac{1}{2} $ . T=100 時的期望值為： $$ E[S_{100}]= \sum_{k=0}^{100} S_0*(1+10%)^k*(1-10%)^{(n-k)}{{100}\choose{k}}p^kp^{(n-k)} $$ 這等於 $ S_0 $ 但預期的幾何回報是： $$ E[Return]= \sum_{k=0}^{100} (1+10%)^k*(1-10%)^{(n-k)}{{100}\choose{k}}p^kp^{(n-k)} - 1 $$ 計算時等於0。因此股票的平均價格等於初始值，平均幾何收益為0。
編輯：如果我們考慮平均幾何回報，即形式的回報 $ \sqrt[n]{x_1x_2…x_n} -1 $ 那麼我們有： $$ E[Mean GeomReturn]= \sum_{k=0}^{100} [\sqrt[n]{(1+10%)^k(1-10%)^{(n-k)}} -1]{{100}\choose{k}}p^kp^{(n-k)} $$ 然後因為平均幾何回報是凹函式，我們有： $$ E[Mean GeomReturn] \leq E[Return] $$ 對數回報（凹）是相同的，即 $$ E[MeanLogReturn]= \sum_{k=0}^{100} Log{(1+10%)^k*(1-10%)^{(n-k)}} ]{{100}\choose{k}}p^kp^{(n-k)} $$ 我們有： $$ E[MeanLogReturn] \leq E[Return] $$
事實上，對於您描述的庫存過程，預期的對數回報是負數（100 個週期後等於 -50%）。你應該非常小心，因為你提到預期股票價格等於它的初始值——這是真的，但預期對數回報和平均幾何回報都是負數。這是因為對數會壓平高回報並誇大負回報。例如，如果股票價值 100，下一期為 199（99% 的幾何回報）或 1（-99% 的幾何回報），那麼對數回報是多少？分別為 +68% 和 -460%。什麼是預期的日誌回報？-390%。說平均而言您獲得 -390% 的對數回報率沒有多大意義。但是如果你計算下一個時期的平均股價 $ (0.5199 + 0.51) $ 併計算平均價格的對數回報，您將得到一個易於解釋的數字。 $$ log((0.5199 + 0.51)/100)=0% $$ 因此，這裡的計算順序至關重要。為了便於解釋，我建議首先計算預期股票價格 $ E[S_{100}] $ 然後計算對數回報。你應該得到 0%。
編輯2： 對預期對數回報（而不是預期回報對數）有很好的解釋（感謝@fesman）-如果他們預期對數回報為負，這意味著從長遠來看，賠錢的可能性高於賺錢的可能性。在我們的範例中，我們有一個週期回報 $ (1+X) $ 在哪裡 $ X $ 可以以相等的機率取 +10% 和 -10% 的值。在 N 個週期之後，我們有： $$ (1+x_1)(1+x_2)…(1+x_n) $$ 日誌返回是 $$ ln((1+x_1)…(1+x_N))=ln(1+x_1)+ln(1+x_2)+…(1+x_N) $$ 如果 $ N $ 足夠大，那麼這個總和可以通過正態分佈來近似（由於 CLT）。的平均值 $ ln(1+X) $ 是$$ \hat x=E[ln(1+X)] $$ 變異數為： $$ \sigma^2=E[(ln(1+X))^2]-E[(ln(1+X))]^2 $$ 因此，總和近似正態分佈，均值 $ N\hat x $ 和變異數 $ N*\sigma^2 $ . 這可以表示為： $$ N\hat x + \sqrt N*\sigmaZ $$在哪裡 $ Z $ 是標準的正常房車。讓我們計算一下我們在該投資上實際虧損的機率： $$ P(N\hat x + \sqrt N\sigmaZ < 0)=P(Z<\frac{-N\hat x}{{\sqrt N}\sigma})=\Phi(\frac{-N\hat x}{{\sqrt N}*\sigma}) $$ 在哪裡 $ \Phi $ 是標準正態分佈的 CDF。將數字代入方程後，我們得到 $ N=100 $ 期間賠錢的機率約為 69%（賠錢的高風險），並且隨著 N 的增加而增加。因此，規避風險的投資者不會接受這筆交易。為了獲得 50% 的機率，很容易檢查預期的對數回報必須為零，而不是負數。