交易策略問題 - 初始資本 x 隨著時間的推移購買 S0,T0,T0,T以每單位時間 x/T 歐元的固定匯率
我正在尋找對股票數量取決於時間的交易策略問題的澄清。
在安全率為零且股票動態定義為的市場中 $$ \frac{dS_t}{S_t}=\mu_t dt + \sigma_t dW_t \quad \quad (1) $$ 初始資本為 x 的投資者在一段時間內購買股票$$ 0,T $$以每單位時間 x/T 歐元的恆定比率。
我正在計算時間 t 的股票數量，首先通過定義變化率
$$ d \theta_t=\frac{x}{T} \frac{1}{S_t} dt \quad \quad (2) $$ 然後獲取函式 $ \theta $ 通過整合 (2)
$$ \theta_t=\frac{x}{T} \int_0^t \frac{1}{S_t} ds \quad \quad (3) $$ 這種方法正確嗎？
此外，我想證明回報 $ V_T $ 在 T 等於 $ \frac{x}{T} \int_0^T R_{t,T} dt $ 在哪裡 $ R_{t,T} $ 是 t 和 T 之間的簡單收益率。
解決方案手冊說這應該計算為
$$ V_T= \int_0^T \theta_t dS_t \quad \quad (4) $$ 和按零件集成 $$ V_T= \theta_T S_T - \int_0^T S_t d\theta_t = \int_0^T (S_T-S_t) d\theta_t = \int_0^T (\frac{S_T}{S_t}-1)S_t d\theta_t = \frac{x}{T} \int_0^T R_{t,T} dt \quad (5) $$ 我不清楚這裡的收益是如何得出的。我的理解是每個時間點的股票數量不同但這裡只使用了兩個價格 $ S_T $ 和 $ S_t $ 而整合是關於 $ \theta $ . 然而，價格也會隨著時間間隔而變化。
任何人都可以解釋用於支付的推理嗎？
等式（1）到（3）是正確的。你的投資策略是， $ \forall t > 0 $
$$ X_t = \theta _ t S_t $$ 如果您將此策略用作自籌資金投資組合的一部分，您可以在無限小的時間間隔內將 P&L 寫為 $$ dV_t = \theta_ t dS_t $$ 假設安全利率為零，即為您的多頭股票頭寸融資所需的任何現金（即您做空時收到的現金）不會花費您（或賺取您）任何東西。 使總損益超過 $ [0,T] $ 讀 $ V_T = \int_0^T dV_t $ 或等效地：
$$ V_T = V_0 + \int_0^T \theta_ t dS_t $$即等式（4）。正如您所指出的，從 (4) 到 (5) 只是按部分集成。將 Ito 應用於 $ \theta_ t S_t $ 獲得 $$ d (\theta_ t S_t) = \theta_ t dS_t + d\theta_ t S_t $$ 因為 $ \theta_ t $ 有有限的變化。現在在兩邊整合併重新排列術語以結束 $$ \int_0^T \theta_ t dS_t = (\theta_T S_T - \theta_0 S_0) + \int_0^T S_t d\theta_ t $$ 因此最終的財富 $$ V_T = V_0 + \int_0^T \theta_ t dS_t $$ 可以重寫（注意 $ V_0 = \theta_0 S_0 $ ) $$ V_T = \theta_T S_T + \int_0^T S_t d\theta_ t $$ 由於元件集成。