轉變為鞅
如果 $ f $ 是 BV 的一些函式 $ \mathbb{R} $ 和 $ dZ_t = f(W_t)dW_t + \mu_t dt $ ( $ W_t $ 是一個 $ 1 $ 維標準布朗運動），那麼選擇什麼實值函式 $ F $ 使：
$$ \begin{equation} M_t:= Z_t e^{\int_0^tF(Z_t)dt} \end{equation} $$ 變成鞅？ 我覺得我應該使用 Ito 的產品規則來解決這個問題以及術語 $ e^{\int_0^tF(Z_t)dt} $ 必須是 BV（因為它是黎曼積分），但是我對細節很模糊（因為我對這類問題完全陌生）。
謝謝大家的幫助。
正如您猜對的那樣，這些類型的問題可以使用伊藤引理來回答。我們有：
$$ \begin{equation} d(M_t)= d(Z_t e^{\int_0^tF(Z_u)du})=d(Z_t) e^{\int_0^tF(Z_u)du}+Z_t d(e^{\int_0^tF(Z_u)du})+d(Z_t)d(e^{\int_0^tF(Z_u)du}) \end{equation} $$ 對於 RHS 的前兩個術語，我們有：
$$ \begin{equation} d(Z_t) e^{\int_0^tF(Z_u)du} = (f(W_t)dW_t + \mu_t dt) e^{\int_0^tF(Z_u)du} \end{equation} $$ 和
$$ \begin{equation} Z_t d(e^{\int_0^tF(Z_u)du}) = Z_t e^{\int_0^tF(Z_u)du}F(Z_t)dt \end{equation} $$ 第三項沒有任何貢獻。
現在，為了滿足鞅條件，將時間相關項的係數等同於零，我們得到
$$ \begin{equation} F(Z_t) = -\mu_t/Z_t \end{equation} $$