隨時間漂移和波動的幾何布朗運動的躍遷密度
你能提供一個關於具有時間相關漂移和波動的標量幾何布朗運動的過渡密度的參考，即標量過程 $ X = (X_t)_{t\geq 0} $ 由 SDE 定義
$ \mathrm{d}X_t = X_t\cdot(b(t),\mathrm{d}t + \sigma(t),\mathrm{d}B_t) $
對於（足夠平滑的）函式 $ b= b(t)\in\mathbb{R} $ 和 $ \sigma=\sigma(t)>0 $ ?
你可以做我們一直做的事情並記錄日誌和伊藤引理：
$$ \text{d}\ln(X_t)= \left( b(t)-\frac{1}{2}\sigma^2(t)\right)\text{d}t+\sigma(t)\text{d}B_t. $$ 那麼，根據定義， $$ \ln(X_t)=\ln(X_0)+\int_0^t\left( b(s)-\frac{1}{2}\sigma^2(s)\right)\text{d}s +\int_0^t \sigma(s)\text{d}B_s $$ 或者 $$ X_t=X_0\exp\left(\int_0^t\left( b(s)-\frac{1}{2}\sigma^2(s)\right)\text{d}s +\int_0^t \sigma(s)\text{d}B_s\right). $$
因為 $ \int_0^t f(s)\text{d}B_s $ 是高斯（零均值，見這裡）如果 $ f $ 是確定性的（如您的情況），您的過程保持對數正態分佈，只是具有時間相關的漂移和波動。注意
$$ \begin{align*} \mathbb{E}[\ln(X_t)] &= \ln(X_0)+\int_0^t\left( b(s)-\frac{1}{2}\sigma^2(s)\right)\text{d}s,\ \mathbb{V}\text{ar}[\ln(X_t)] &= \int_0^t \sigma^2(s)\text{d}s. \end{align*} $$ 一如既往， $ \mathbb{E}[X_t]=\exp\left(\mathbb{E}[\ln(X_t)]+\frac{1}{2}\mathbb{V}\text{ar}[\ln(X_t)]\right)=X_0\exp\left(\int_0^t b(s)\text{d}s\right) $ . 的變異數 $ X_t $ 發現類似。如果你知道前兩個時刻，你可以寫下 $ X_t $ ， 那是
$$ f_{X_t}(x) = \frac{1}{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi\mathbb{V}\text{ar}[X_t]}}\exp\left(-\frac{\left(\ln(x)-\mathbb{E}[X_t]\right)^2}{2\mathbb{V}\text{ar}[X_t]}\right). $$
如果 $ b(t)\equiv b $ 和 $ \sigma(t)\equiv\sigma $ 是常數，你恢復標準 $$ X_t=X_0\exp\left(\left( b-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t +\sigma B_t\right). $$