給定的隨機過程在什麼條件下是鞅，在什麼條件下是鞅？
讓 $ a_t $ 適應過濾隨機過程 $ a_t: P{\int _0^T|a_t|dt < \infty } = 1 $ 和 $ b_t \in M_T^2. \quad $ 在什麼條件下隨機過程$$ X_t = exp{\int _0^ta_sds+\int _0^tb_sdW_s} ; t \in [0, T], $$是鞅，在哪個下鞅？
據我了解，這是“指數鞅”的一個著名例子，答案是：
這個過程將是鞅 $ a_s = -\frac {b_s^2}{ 2 } $ .
但我不明白如何證明這一點。亞鞅的條件是什麼？
我試圖證明的是：
讓我們試著找出條件 $ E(\frac{X_t}{X_s}|\mathcal F_s)= 1 $ .
$ E(\frac{X_t}{X_s}|\mathcal F_s)=exp{\int _s^ta_sds} E(exp{\int _s^tb_sdW_s}) $
另外，我明白 $ \int _s^tb_sdW_s $ 具有高斯分佈。
但我不知道下一步該做什麼。如果有任何幫助，我將不勝感激。
可以使用 Ito 引理來解決這個問題。讓 $ I_t=\int_0^t a_u du+\int_0^tb_udW_u, (\forall) t\in [0;T] $ . 然後，根據定義，我們有： $$ dI_t=a_t+b_tdW_t. $$ 使用此引理適用於 $ f(I_t) $ ， 在哪裡 $ f(x)=e^x $ ，我們得到： $$ dX_t=d\left(e^{I_t}\right)=\underbrace{e^{I_t}}{X_t}dI_t + \frac{1}{2}e^{I_t}d\langle I \rangle_t, $$ 在哪裡 $ \langle I \rangle_t $ 是的二次變分 $ (I_t){t\geq 0} $ . 可以使用隨機微積分的規則獲得這個二次變分： $$ d\langle I \rangle_t =(b_t)^2 dt. $$ 所以， $$ dX_t=X_tdI_t+\frac{1}{2}X_t(b_t)^2dt=\left(a_t+\frac{b_t^2}{2}\right)dt+X_tb_tdW_t. $$ 這實際上只是以下的簡寫符號： $$ X_t=X_0+\int_0^t \left(a_u+\frac{b_u^2}{2}\right)du+\int_0^t X_ub_udW_u. $$ 但由於上述公式的最後一項是隨機積分（即鞅），我們有： $$ \mathbb{E}\left[X_t\right]=\mathbb{E}\left[X_0\right]+\mathbb{E}\left[\int_0^t\left(a_u+\frac{b_u^2}{2}\right)du\right]. $$ 為確保產品的耐性 $ (X_t)_{t\geq 0} $ ，一個必要條件是： $$ \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(a_u+\frac{b_u^2}{2}\right)du\right] = 0. $$ 這與您上面寫的有些不同，因為積分 $$ \int_0^t\left(a_u+\frac{b_u^2}{2}\right)du $$ 是一個隨機變數。你的條件是充分的，但不是必要的。
由於亞鞅條件是 $$ \mathbb{E}\left[X_t|\mathcal{F}s\right]\geq X_s, \text{for }s\leq t $$ （假設過濾確實是 $ \left(\mathcal{F}t\right){t\geq 0} $ )，那麼充分條件為 $ (X_t){t\geq 0} $ 現在應該很容易看到成為亞鞅。