了解 HJM 漂移條件的維度
在 HJM 模型中，遠期利率動態如下
$$ df_t(T) =a_t(f_t(T))dt+b_t(f_t(T))dW_t $$ 在哪裡 $ W_t $ 是一個 $ d $ 維布朗運動， $ b_t $ 取值 $ \mathbb{R}^{d\times d} $ 和 $ a_t $ 取值 $ \mathbb{R}^d $ . 當我們談到無套利條件時，我的困惑就出現了
$$ a_t = b_t\int_0^t b_s^T ds, $$ 右手邊不應該是 $ d\times d $ 維度和左側是 $ d $ 維度？
不失一般性，我們假設 $ d=1 $ . 放
$$ \gamma (t,f(t,T))=\int_{t}^{T}b(t,f(t,u)),du $$ 確實，我們想展示 $$ a(t,f(t,T))=b(t,f(t,T))\gamma(t,f(t,T)) $$ 根據定義，我們有 $$ f(t,T)=-\frac{\partial \ln p(t,T)}{\partial T} $$ 所以 $$ \ln p(t,T)=-\int_{t}^{T}{f(t,u),du} $$ 因此 $$ d\ln p(t,T)=r(t)dt-\int_{t}^{T}{df(t,u),du} $$ 換句話說 $$ d\ln p(t,T)=\left(r(t)-\int_{t}^{T}{a(t,u),du}\right)dt+\gamma (t,T),d{{W}}(t) $$ 應用伊藤引理，我們有 $$ d\left( \frac{p(t,T)}{B(t)} \right)=\frac{p(t,T)}{B(t)}\left(d\ln p(t,T)+\frac{1}{2}d\ln p(t,T),\ln p(t,T)-r(t)dt\right) $$ 因此 $$ d\left( \frac{p(t,T)}{B(t)} \right)=\frac{p(t,T)}{B(t)}\left( -\left[ \int_{t}^{T}{a (t,u),du} \right]dt+\frac{1}{2}{{\gamma }^{2}}(t,T)dt-\gamma (t,T)d{{W}}(t) \right) $$ 我們知道 $ {p(t,T)}/{B(t)} $ 是鞅，所以 $$ -\left(\int_{t}^{T}{a (t,u),du} \right)+\frac{1}{2}{{\gamma }^{2}}(t,T)=0 $$ IE $$ \int_{t}^{T}{a (t,u),du}=\frac{1}{2}{{\gamma }^{2}}(t,T) $$ 所以 $$ \frac{d}{dT}\left(\int_{t}^{T}{a (t,u),du}\right)=\frac{1}{2}\frac{d}{dT}{{\gamma }^{2}}(t,T) $$ 最後 $$ a(t,f(t,T))=b(t,f(t,T))\gamma(t,f(t,T))=b(t,f(t,T))\int_{t}^{T}b(t,f(t,u)),du $$