涉及信用風險的可違約零息債券價值（價格）
我試圖推導可違約零息債券的價值（價格），但中間有一些步驟（數學）我無法弄清楚。
從預設流程建模中，我們有：
$$ P(t ≤ \tau < t+dt | \tau > t ) ≈ h_tdt $$
和：
$$ P( \tau > t ) = \exp\left(-\int_0^t h_s ds\right) $$
因此將兩者結合起來，無條件機率：
$$ P(t ≤ \tau < t+dt ) = h_t\exp\left(-\int_0^t h_s ds\right)dt $$
接下來繼續推導可違約債券的價值
$$ \begin{align} &B(0,T) \ =& \color{fuchsia}{\text{EV[non-default scenario]}} + \color{blue}{\text{EV[default scenario]}} \ =& E\left[\color{fuchsia}{\exp\left(-\int_0^T r_t dt\right)·\mathbf{1}_{{T<\tau}}} + \color{blue}{\int_0^T RR · \exp\left(-\int_0^t r_s ds\right) · P(t ≤ \tau < t+dt )} \right]\ =& E\left[\color{fuchsia}{\exp\left(-\int_0^T r_t dt\right)·\exp\left(-\int_0^T h_t dt\right)} + \color{blue}{\int_0^T RR · \exp\left(-\int_0^t r_s ds\right) · h_t\exp\left(-\int_0^t h_s ds\right)dt} \right] \ =& E\left[\color{fuchsia}{\exp\left(-\int_0^T (r_t+h_t) dt\right)} + \color{blue}{\int_0^T RR · h_t· \exp\left(-\int_0^\color{red}{t} (r_s+h_s) ds\right) \color{red}{dt}} \right] \end{align} $$
我已經推導到這裡並遇到了我不知道如何積分藍色部分的問題，其中內部積分的上限作為外部積分的積分變數（為了清楚起見，我將其塗成紅色）。
教科書確實提供了以下最終結果，但我不確定這些是如何從我上面的步驟得出的
有幾種回收機制，例如，面值（即名義）回收、國庫回收（即回收價值是等價無違約債券的恆定比例）和市場價值回收（即，其違約前市場價值的一小部分）。在這裡，您的公式，也稱為蘭多公式，假設了市場價值機制的恢復。
讓 $ V_t $ 成為時間的預預設值 $ t $ 到期的零息債券 $ T $ 和單位面值（注意 $ V_T=1 $ ）。此外，讓 $ R $ 是違約前值的回收率 $ V_{\tau} $ . 此外，讓 $ \tau $ 成為預設時間， $ H_t=\pmb{1}_{{\tau \leq t}} $ . 讓 $ \mathscr{F}_t $ 是當時設定的市場資訊 $ t $ （粗略地說，包括違約或生存事實以外的所有資訊）。此外，讓 $ \mathscr{H}_t = \sigma(H_u,, u \leq t) $ 和 $ \mathscr{G}_t = \mathscr{F}_t \vee \mathscr{H}_t $ 是擴大的資訊集。在這裡，我們可以假設預設時間 $ \tau $ 定義為非齊次Poisson過程的第一次跳躍時間，其中強度過程 $ {h_t,, t \ge 0} $ 是確定性的，或 Cox 過程，其中強度是隨機的（有關詳細資訊，請參閱Bielecki 和 Rutkowski ）。
一般來說，我們假設 $ \mathscr{H} $ -滿足條件，即 $ \mathscr{H}t $ 和 $ \mathscr{F}{\infty} $ 是獨立的條件 $ \mathscr{F}_t $ ; 換句話說，對於任何 $ \mathscr{H}t $ - 可測量的隨機變數 $ X $ 和 $ \mathscr{F}{\infty} $ 可測隨機變數 $ Y $ , $$ \begin{align*} E(XY,|,\mathscr{F}_t) = E(X,|,\mathscr{F}_t)E(Y,|,\mathscr{F}_t). \end{align*} $$
另一個要使用的關鍵公式是過濾轉換公式（參見利率模型 - 理論與實踐一書）：對於任何 $ \mathscr{G}{\infty} $ 可測隨機變數 $ Y $ , $$ \begin{align*} E\left(\pmb{1}{{\tau > t}}Y,|,\mathscr{G}t\right) = \pmb{1}{{\tau > t}}\frac{E\left(\pmb{1}_{{\tau > t}}Y,|,\mathscr{F}t\right)}{E\left(\pmb{1}{{\tau > t}},|,\mathscr{F}_t\right)}.\tag 1 \end{align*} $$
那麼，對於 $ 0 \leq t < T $ , $$ \begin{align*} \pmb{1}{{\tau > t}}V{t} &= E\bigg(\pmb{1}{{\tau > T}}e^{-\int{t}^{T} r_s ds} + \pmb{1}{{t< \tau \le T}} R, V{\tau}e^{-\int_{t}^{\tau} r_s ds} , \big|, \mathscr{G}{t}\bigg) \ &=\pmb{1}{{\tau > t}} E\bigg(e^{-\int_{t}^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_{t}^{T}R, V_{u}h_u e^{-\int_{t}^{u} (r_s+h_s) ds} du , \big|, \mathscr{F}{t}\bigg) \tag 2 \ &=\pmb{1}{{\tau > t}} e^{\int_0^{t} (r_s+h_s) ds} E\bigg(e^{-\int_0^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_{t}^{T}R, V_{u} h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du , \big|, \mathscr{F}_{t}\bigg). \nonumber \end{align*} $$ 在這裡， $ \mathscr{H} $ -條件和過濾切換公式用於推導 $ (2) $ .
讓 $$ \begin{align*} M_t = E\bigg(e^{-\int_0^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_0^{T}R, V_{u}h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du , \big|, \mathscr{F}t\bigg). \end{align*} $$ 然後， $ M_t $ 是鞅。而且， $$ \begin{align*} V_t = e^{\int_0^t (r_s+h_s) ds}\bigg(M_t - \int_0^{t} R,V{u}h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du \bigg). \end{align*} $$ 根據伊藤引理， $$ \begin{align*} d\Big(e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t \Big) = e^{\int_0^t R, h_s ds} dM_t. \end{align*} $$ 自從 $ M_t $ 是鞅， $ e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t $ 也是鞅 $ [0, T] $ . 那麼，對於任何 $ 0\le t \le u\le T $ , $$ \begin{align*} e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t = E\Big(e^{-\int_0^u (r_s+(1-R)h_s) ds} V_u , \big|, \mathscr{F}_t \Big). \end{align*} $$ 尤其是， $$ \begin{align*} V_0 = E\left(e^{-\int_0^{T} (r_s+(1-R)h_s) ds}\right). \end{align*} $$