關於布朗運動函式的時間積分的變異數
讓程序 $$ I_t = \int_0^t f(s) W_s ,\mathrm d s $$
在哪裡 $ W_s $ 是標準布朗運動。我的問題如下：
我們知道 $ \mathbb{E} (I_{t})=0 $ 對所有人 $ t $ 和 $ f $ 一個可積函式。是否有二階矩的通用公式，即 $ \mathbb{E}(I_{t}^2) $ ?
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使用 Fubini 的論證，假設 $ f $ 是確定性的
$$ E(I_t^2) = E\left(\int_0^t f(s) W_s ds\int_0^t f(u) W_u du\right)=\int_0^t\int_0^t{f(s)f(u)min(s,u)duds} $$
如果 $ f $ 是連續的（甚至是分段的）你可以證明 $ I_t $ 是正態分佈的。
正如@Canardini 指出的那樣， $$ \begin{align*} E\big(I_t^2\big) &= E\left(\int_0^t f(s) W_s ds\int_0^t f(u) W_u du\right)\ &= \int_0^t!\int_0^t f(s)f(u)\min(s,u)dsdu\ &= \int_0^t\left(\int_0^u f(s)f(u) s ds + \int_u^t f(s)f(u) u ds \right)du\ &= \int_0^t \int_0^u sf(s) f(u)ds du + \int_0^t \int_u^t uf(u)f(s) ds du\ &=2\int_0^t uf(u) \int_u^t f(s) ds du\ &=-u\left(\int_u^t f(s) ds\right)^2\Big|_0^t+\int_0^t\left(\int_u^t f(s) ds\right)^2 du\ &=\int_0^t \left(\int_s^t f(u)du\right)^2 ds. \end{align*} $$ 或者，請注意 $$ \begin{align*} \int_0^t f(s) W_s ds &= W_t \int_0^t f(s) ds - \int_0^t \int_0^s f(u)du, dW_s\ &=\int_0^t f(s) ds\int_0^t dW_s - \int_0^t \int_0^s f(u)du, dW_s\ &=\int_0^t \int_s^t f(u)du, dW_s. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} E\big(I_t^2\big) &= \int_0^t \left(\int_s^t f(u)du\right)^2 ds. \end{align*} $$