這是什麼插值？

我有維納過程 $ W_t=\int_0^t\sigma(t)dB(t) $ 在哪裡 $ B(t) $ - 布朗運動和 $ \sigma(t) $ - 分段常數函式。我也拿 $ t_k<t<t_{k+1} $ 我知道的價值觀 $ W_{t_k} $ 和 $ W_{t_{k+1}} $ . 我找到了某種插值的實現，但我不明白它是如何確定的。它的工作原理如下：

1. $ D = \sigma^2(t_{k+1})\times t_{k+1} - \sigma^2(t_{k})\times t_{k} $
2. $ N=\sigma^2(t)\times t -\sigma^2(t_k)\times t_k=\sigma^2(t_k)\times (t-t_k) $
3. $ W_t = \sqrt{N/D}\times W_{t_{k+1}} + (1-\sqrt{N/D})\times W_{t_k} $

通常，我想知道具有隨機\分段常數波動的維納過程的流行插值方法是什麼。

我不明白為什麼他們不只是使用 $$ \tag{1} D=\sigma^2(t_k)(t_{k+1}-t_k) $$ 這導致理論上正確的變異數 $ W_t-W_{t_k} $ .

重寫 (3) 給出區間上的增量 $ [t_k,t] $ $$ W_t-W_{t_k}=\sqrt{N/D},(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}),. $$ 這有一個變異數 $$ \tag{2} \mathbb E\Big[(W_t-W_{t_k})^2\Big]=\frac{N}{D}\sigma^2(t_k)(t_{k+1}-t_k )=\frac{\sigma^2(t_k)(t-t_k)}{\sigma^2(t_{k+1}),t_{k+1}-\sigma^2(t_k),t_k}\sigma^2(t_k)(t_{k+1}-t_k ),. $$ 從 $ W_t=\int_0^t\sigma(s),dB_s $ 我們理論上應該得到 $$ \tag{3} \mathbb E\Big[(W_t-W_{t_k})^2\Big]=\int_{t_k}^t\sigma^2(s),ds=\sigma^2(t_k)(t-t_k),. $$ 最後一個等號來自於分段恆定的假設 $ \sigma,. $

顯然，如果使用 (1) 代替，則 (2) 和 (3) 同意所有 $ t\in[t_k,t_{k+1}],. $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/69933