為什麼 Black-Scholes 方程在美式期權的延續區域上成立？
看跌期權說明：
$$ \frac{\partial V}{\partial t}+ \mathcal{L}_{BS} (V) = 0, $$ 在哪裡
$ \mathcal{L}_{BS} (V) = \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r-q) S \frac{\partial V}{\partial S} - r V $ 為 $ S > S_f $ ， 在哪裡 $ S_f $ 是接觸點。
為什麼這個等式成立 $ S > S_f $ ? 能給個連結作為證明嗎？
另一個問題是：為什麼我們需要高接觸條件？
更新：
我是否正確理解美式看跌期權，如果 $ S > S_{f} $ , 有時間運動沒有意義 $ t<T $ （因為它會立即造成損失： $ -V+S-K<0 $ ）。所以它的行為類似於歐式期權，因此 $ V^{Am}{P}=V^{E}{P} $ 並且滿足 Black-Scholes 方程。
美式期權實際解決的問題是最優停止時間問題，因此期權的價值為
$$ V_0 = \max_\tau E_{\tau}\left[e^{-r \tau} (S_\tau-K)^+ \right] $$ 所有停止時間都取最大值（鍛煉策略 $ \tau>0 $ 契約中允許的）。
使用您擁有的 PDE 運算符，瞬時等式可以以線性互補形式表示為
$$ \left(\frac{\partial V}{\partial t}+ \mathcal{L}_{BS} (V)\right)\cdot \left(V-g\right) = 0 $$ 在哪裡 $ g $ 代表早期行使價值。
為方便起見，請注意（行使後）股票本身滿足 BS PDE 微不足道。
行使期權時的收益由下式給出：
$$ \max(K-S(t),0) $$ 現在假設有一個 $ V(S,t)<\max(K-S(t),0) $ : 會有套利的機會。我們可以購買資產 $ S $ 和看跌期權 $ V $ . 出售資產 $ K $ 將導致無風險利潤 $ K-S-V $ . 因此，美式看跌期權的價值必須具有附加約束
$$ V(S,t)\geq \max(K-S(t),0) $$ 只要 $ V > K-S $ （或者 $ S>S_f $ ) 它由 BS PDE 給出，否則價格由下式給出 $ K-S $ . 大多數（如果不是全部）關於金融衍生品的教科書介紹都包含更多關於金融衍生品的細節和 BS PDE 的推導。
第二個（更神秘的）約束是代理“最佳”行為的結果。尋找更多關於這方面的關鍵詞可能是最優停止問題或期權博弈論。