為什麼赫爾懷特模型中的短期利率服從正態分佈？
考慮 Hull White 模型 $ dr(t)=[\theta(t)-\alpha(t)r(t)]dt+\sigma(t)dW(t) $ 當我們解決上面的 SDE 時，我們有 $ r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\frac{\theta}{\alpha}(1-e^{-\alpha t})+\sigma e^{-\alpha t}\int_{0}^{t}e^{\alpha u}dW(u) $ 當我們考慮期望和變異數時，我們有 $ r(t) \sim N(e^{-\alpha t}r(0)+\frac{\theta}{\alpha}(1-e^{-\alpha t}),\frac{\sigma^2}{2\alpha}(1-e^{-\alpha t})) $ .
我知道計算如何找到 SDE 並找到期望或變異數，但我不明白為什麼 $ r(t) $ 具有正態分佈。
謝謝。
為簡單起見，我們假設 $ \alpha $ 是一個正常數。你需要證明，對於任何 $ t>0 $ , $$ \begin{align*} M_t = \int_0^t e^{\alpha u} dW_u \end{align*} $$ 是正態分佈的，其中 $ {W_t, , t \ge 0} $ 是關於過濾的標準布朗運動 $ {\mathscr{F}t,, t \ge 0} $ . 在這裡，我們採用時變布朗運動技術。為了 $ t\ge 0 $ ， 讓 $ \mathscr{G}t = \mathscr{F}{\frac{1}{2}\ln(1+2t)} $ . 考慮過程 $ X={X_t, t \geq 0} $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} X_t = \int_0^{\frac{1}{2}\ln(1+2t)} e^{\alpha u} dW_u. \end{align*} $$ 然後 $ X $ 是關於過濾的連續鞅 $ {\mathscr{G}t,, t \ge 0} $ . 而且， $$ \begin{align*} \langle X, X\rangle_t &= \langle M, M\rangle{\frac{1}{2}\ln(1+2t)}\ &=\int_0^{\frac{1}{2}\ln(1+2t)} e^{2u} du =t. \end{align*} $$ 通過利維對布朗運動的鞅刻畫， $ {X_t, t \ge 0} $ 是布朗運動。也就是說，對於 $ t >0 $ , $ X_t $ 是正態分佈的。因此，對於任何 $ t >0 $ , $$ \begin{align*} M_t &= \int_0^t e^{\alpha u} dW_u\ &=X{\frac{1}{2}(e^{2t}-1 )} \end{align*} $$ 是正態分佈的，並且 $ r_t $ 也是正態分佈的。