為什麼是是（噸）在H（噸）Y(t)Vh(t)Y(t)V^h(t)鞅？
讓 $ \lambda $ 是風險的市場價格： $ \frac{a - r}{\sigma} $ , 並定義 $ Y(t) = e^{-\lambda W(t) - (r + \frac{\lambda^2}{2})t} $ . 讓 $ V^h(t) $ 是任何自籌資金組合的價值過程。市場是一個標準的布萊克斯科爾斯。
為什麼是 $ Y(t)V^h(t) $ 鞅？
顯然， $ Y(t) $ 解決 GMB $ dY(t) = -rY(t)dt - \lambda Y(t)dW(t) $ . 自從 $ h $ 是自籌資金，我們也為那個過程獲得了一個差異。那麼我們可以用這兩個微分應用伊藤公式，得到它們乘積的微分，是嗎？對於它是一個鞅， $ dt $ -term 必須消失，但在我的計算中它並沒有消失。那麼是我的計算錯誤，還是我的方法不對？
請記住，鞅總是根據某種機率測度來定義的。您的困惑來自於您沒有跟踪所引入的措施。
$ \lambda = \frac{a-r}{\sigma} $ 確實反映了一定的市場風險價格，從某種意義上說，對於以下物理量度下的擴散模型 $ \Bbb{P} $
$$ \begin{align} \frac{dS_t}{S_t} &= a dt + \sigma dW_t^\Bbb{P} \ &= (r + \lambda \sigma) dt + \sigma dW_t^\Bbb{P} \end{align} $$ $ \lambda $ 可以看作是風險資產的風險溢價（每單位波動率的超額收益） $ S $ . 現在假設我們要定義一個度量 $ \Bbb{Q} \sim \Bbb{P} $ 這樣 $ S_t \sim GBM(r, \sigma) $ 在下面 $ \Bbb{Q} $ （因此使風險溢價消失）。該度量是通過以下 Random-Nikodym 導數定義的：
$$ \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}[-\lambda W_t^\Bbb{P}] = e^{rt} Y_t $$ 和你的 $$
Y_t = e^{-\lambda W_t^\Bbb{P}-(r+\frac{1}{2}\lambda^2)t} $$ 事實上，吉爾薩諾夫告訴我們，$$ W_t^\Bbb{P} - \langle W^\Bbb{P} , -\lambda W^\Bbb{P} \rangle_t = W_t^\Bbb{P} + \lambda t $$ 是一個 $ \Bbb{Q} $ 布朗運動
另一方面，資產定價基本定理告訴你，在沒有套利機會的情況下，任何自籌資金組合的貼現值在等價測度下應該是鞅 $ \Bbb{Q} $ ， 因此：
$$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}[e^{-rt} V_t^h \mid \mathcal{F}_s] = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_s [ e^{-rt} V_t^h ] = e^{-rs} V_s^h $$
根據條件期望的Girsanov 定理（有時稱為****抽象貝氏公式），我們有 $ (\mathcal{F}_t,\Bbb{Q})- $ 可測量的過程 $ X_t $
$$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}_s [ X_t ] = \frac{ \Bbb{E}_s^\Bbb{P} \left[ X_t Z_t \right] }{ \Bbb{E}s^\Bbb{P} [ Z_t ] } $$ 我們使用了速記符號 $$ Z_t = \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}} \right\vert{\mathcal{F}_t} $$ 將此應用於 $ X_t = e^{-rt}V_t^h $ 和等效措施 $ \Bbb{P} $ 和 $ \Bbb{Q} $ 之前定義的（因此 $ Z_t = e^{rt} Y_t = \mathcal{E}[-\lambda W_t^\Bbb{P}] $ 一個 $ \Bbb{P} $ -馬丁格爾）產量： $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}_s [ e^{-rt} V_t^h ] = \frac{ \Bbb{E}_s^\Bbb{P} \left[ V_t^h Y_t \right] }{ \Bbb{E}s^\Bbb{P} [ e^{rt} Y_t ] } $$ 因此隔離對 RHS 的期望並使用以下事實 $ e^{-rt}V_t^h $ 是一個 $ \Bbb{Q} $ -鞅， $$ \Bbb{E}s^\Bbb{P} \left[ V_t^h Y_t \right] = \underbrace{\left(e^{rs} Y_s\right)}{Z_t \text{ is a } \Bbb{P}-\text{martingale }} \underbrace{e^{-rs} V_s^h}{e^{-rt}V_t^h \text{ is a } \Bbb{Q}-\text{martingale }} = Y_s V_s^h $$ 和 $ V_t^h Y_t $ 確實是一個 $ \Bbb{P} $ -馬丁格爾（但不是 $ \Bbb{Q} $ -鞅）。
$$ Remark $$ 當然，您應該通過使用鞅表示定理（即計算乘積的微分）的方法達到相同的結果 $ Y_t V_t^h $ 並確保產生的漂移為零）。問題是這兩個過程應該在相同的度量下表達，以便它工作，在這裡 $ \Bbb{P} $ . 在您的文章中，您實際上混合了以下定義的布朗人 $ \Bbb{P} $ 和布朗人定義下 $ \Bbb{Q} $ .
替代@Quantuple 的答案，我們也可以如下進行。
我們假設，在假設的機率測度（例如，真實世界測度）下，標的股票過程 $ {S_t, t \ge 0} $ 滿足形式的 SDE
$$ \begin{align*} dS_t = S_t (adt + \sigma dW_t), \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t, t\ge 0} $ 是標準布朗運動。此外，讓 $ B_t=e^{rt} $ 是當時的貨幣市場賬戶價值 $ t $ . 我們假設價值過程 $ {V_t^h, t \ge 0} $ 的自籌資金組合的形式是 $$ \begin{align*} V_t^h = \alpha_t B_t + \beta_t S_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \alpha_t $ 和 $ \beta_t $ 是貨幣市場賬戶和標的股票的單位。 注意，
$$ \begin{align*} dV_t^h &= \alpha_t dB_t + \beta_t dS_t\ &=r\alpha_t B_t dt + a\beta_t S_tdt + \sigma \beta_t S_t dW_t. \end{align*} $$ 從假設來看， $$ \begin{align*} dY_t = -rY_tdt - \lambda Y_t dW_t. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} &\ d\left(Y_tV_t^h\right) \ =&\ Y_t dV_t^h + V_t^h dY_t + d\langle Y, V^h\rangle_t\ =&\ Y_t\left( r\alpha_t B_t dt + a\beta_t S_tdt + \sigma \beta_t S_t dW_t\right)+V_t^h\left( -rY_tdt - \lambda Y_t dW_t \right) -\lambda \sigma\beta_tY_t S_t dt\ =&\ Y_t\left[\left(r\alpha_t B_t+a\beta_t S_t-rV_t^h- \lambda \sigma\beta_tS_t\right)dt + \left(\sigma \beta_t S_t -\lambda V_t^h \right)dW_t \right]\ =&\ Y_t\left[\left(r\alpha_t B_t+r\beta_t S_t-rV_t^h\right)dt + \left(\sigma \beta_t S_t -\lambda V_t^h \right)dW_t \right]\ =&\ Y_t\left(\sigma \beta_t S_t -\lambda V_t^h \right)dW_t. \end{align*} $$ 那是， $ {Y_tV_t^h, t \ge0} $ 是鞅。