為什麼我們要引入維納過程之間的相關性？
維納過程用於對各種資產進行建模，我想知道為什麼我們要引入維納過程之間的相關性，解釋是什麼？因為當兩個維納過程之間的相關性為 $ \rho $ ，例如 Black Scholes 模型中的股票價格之間的相關性將不相等 $ \rho $ .
假設我們對兩隻股票建模 $$ \begin{align*} \text{d}S_1 &= \mu_1S_1\text{d}t+\sigma_1S_1\text{d}W_1 \ \text{d}S_2 &=\mu_2S_2\text{d}t+\sigma_2 S_2\text{d}W_2 \end{align*} $$ 在哪裡 $ \text{d}W_1\text{d}W_2=\rho \text{d}t $ . 然後， $ \rho $ 確實測量了瞬時回報的相關性： $$ \begin{align} \mathbb{C}\text{ov}\left(\frac{\text{d}S_1}{S_1},\frac{\text{d}S_2}{S_2}\right) = \sigma_1\sigma_2\mathbb{C}\text{ov}\left(\text{d}W_1,\text{d}W_2\right)=\sigma_1\sigma_2\rho\text{d}t. \end{align} $$ 因此， $$ \begin{align} \mathbb{C}\text{orr}\left(\frac{\text{d}S_1}{S_1},\frac{\text{d}S_2}{S_2}\right)=\frac{\mathbb{C}\text{ov}\left(\frac{\text{d}S_1}{S_1},\frac{\text{d}S_2}{S_2}\right)}{\sqrt{\mathbb{V}\text{ar}\left[\frac{\text{d}S_1}{S_1}\right]\mathbb{V}\text{ar}\left[\frac{\text{d}S_2}{S_2}\right]}} = \frac{\sigma_1\sigma_2\rho\text{d}t}{\sigma_1\sigma_2\text{d}t}=\rho. \end{align} $$ 您同樣可以考慮日誌返回之間的相關性， $ \text{d}\ln(S_1) $ 並且和 $ \ln(S_2) $ . 請注意，我不需要假設漂移或波動性是恆定的。
這也適用於其他模型設置。考慮 Heston (1993) 的隨機波動率模型 $$ \begin{align*} \text{d}S &= \mu S\text{d}t+\sqrt{v}S\text{d}W_1 \ \text{d}v &=\kappa(\bar{v}-v)\text{d}t+\xi \sqrt{v}\text{d}W_2 \end{align*} $$ 在哪裡 $ \text{d}W_1\text{d}W_2=\rho \text{d}t $ . 那麼，股票價格的創新（變化）與變異數之間的共變異數為 $$ \begin{align} \mathbb{C}\text{ov}\left(\text{d}S,\text{d}v\right) = S\xi v\mathbb{C}\text{ov}\left(\text{d}W_1,\text{d}W_2\right)=S\xi v\rho\text{d}t. \end{align} $$ 因此， $$ \begin{align} \mathbb{C}\text{orr}\left(\text{d}S,\text{d}v\right)=\frac{\mathbb{C}\text{ov}\left(\text{d}S,\text{d}v\right)}{\sqrt{\mathbb{V}\text{ar}\left[\text{d}S\right]\mathbb{V}\text{ar}\left[\text{d}v\right]}}= \frac{S\xi v\rho\text{d}t}{S\xi v\text{d}t}=\rho. \end{align} $$
因此， $ \rho $ 不僅測量布朗運動變化之間的相關性，而且這些相關性通常滲透到經濟變數，這些經濟變數是模型中感興趣的實際變數。