亞洲選項 IV 低於普通選項 IV
我想知道是否可以使用以下揮手構想來表明亞洲期權的 IV 小於具有相同行使價和到期時間的普通期權的 IV：
為簡單起見，我將採取 $ r=q=0 $ . 此外，我將假設（正如凱文在評論中指出的那樣）資產 $ S_u $ 是擴散（沒有跳躍）。
亞洲期權的價格是 $$ E_0\left[ \left( \frac1T \int_0^T S_u, du - K\right)_+ \right]. $$ 根據積分的中間/均值性質，至少存在一個 $ t \in[0,T] $ 這樣 $$ S_t = \frac1T \int_0^T S_u, du. $$ 讓 $ t^* $ 成為第一個這樣的人 $ t $ . 很明顯 $ t^* $ 將是一個始終小於或等於的隨機變數 $ T $ .
因此我們可以寫 $$ \begin{align} E_0\left[ \left( \frac1T \int_0^T S_u, du - K\right)+ \right] &= E_0 \left[ \left( S{t^*} - K \right)+ \right] \ &\leq E_0 \left[ \left( S_T - K \right)+ \right]. \end{align} $$
我認為這沒問題，但我仍然有一些揮之不去的疑問，因為 $ t^* $ 是一個隨機時間。
有沒有人發現上面的明顯錯誤？更好的是，有人能夠使“證明”更加嚴格（如果它是正確的）或指出它不正確的地方嗎？
取消刪除和編輯我自己的答案，不是為了再次提出問題，而是嘗試關閉/解決它，因為我認為其中有一些有趣的微妙之處。
我還將簡要介紹@MainCom 的反例，以表明它實際上不是反例。
由於我想使用中值定理，我假設資產過程是連續的 $ [0,T] $ . 例如，沒有資產價格跳躍的局部隨機波動率模型將滿足此條件。
為簡單起見，我將無風險利率和股息收益率設置為零。
我們將對香草選項感興趣 $$ \begin{equation} C\left(S_t,t,K,T\right) := E_t \left[ \left(S_T - K\right)+ \right], \end{equation} $$ 和亞洲選項 $$ \begin{equation} C\left(A_t,t,K,T\right) := E_t \left[ \left(A_T - K\right)+ \right], \end{equation} $$ 和 $$ \begin{equation} A_t := E_t \left[ \frac1T \int_0^T S_u , du \right] . \end{equation} $$ 讓 $ BS\left(S_t,t,K,T,I_S (K)\right) $ 表示具有隱含波動率 (IV) 的普通期權的 Black-Scholes (BS) 價格 $ I_S (K) $ ， 和 $ BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) $ IV 的亞洲期權的 BS 價格 $ I_A (K) $ . 這些 IV 定義為 $$ \begin{align} BS\left(S_t,t,K,T,I_S(K)\right) &:= C\left(S_t,t,K,T\right), \ BS\left(A_t,t,K,T,I_A(K)\right) &:= C \left(A_t,t,K,T\right). \end{align} $$
最後，回憶一下積分的中值定理：讓 $ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} $ 是一個連續函式。那麼至少存在一個 $ x\in[a,b]] $ 這樣 $$ f(x) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(u), du. $$
主張：
價格的上限 $ BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) $ 亞洲選項的一個是 $$ \begin{equation} BS\left(A_t,t,K,T,I_A(K)\right) \leq \lambda , BS\left(S_t,t,\lambda^{-1}K’ ,T,I_S(\lambda^{-1}K’)\right), \end{equation} $$ 和 $ \lambda = \frac{T-t}{T} $ 和 $ K’ = K - \frac1T \int_0^t S_u , du $ .
證明：
我們可以寫 $$ \begin{align*} BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) &:= E_t \left[ \left(A_T - K\right)+ \right] \ &= E_t \left[ \left(\frac1T \int_0^T S_u , du - K \right)+ \right] \ &= E_t \left[ \left(\frac{\lambda}{T-t} \int_t^T S_u , du - K’ \right)+ \right] \end{align*} $$ 和 $ \lambda = \frac{T-t}{T} $ 和 $ K’ = K - \frac1T \int_0^t S_u , du $ . 根據中值定理，對於資產的每條路徑，至少存在一個 $ \tau\in [t,T] $ 這樣 $$ S\tau = \frac{1}{T-t} \int_t^T S_u du. $$ 讓 $ \tau^* $ 成為第一個這樣的人 $ \tau $ . 很明顯，每個 $ \tau \in [t,T] $ 是一個隨機變數，特別是 $ \tau^* \in [t,T] $ 是一個隨機變數。確定亞洲期權價格的問題可以重新表述為以下形式： $$ BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) = \lambda E_t \left[ \left(S_{\tau^*} - \lambda^{-1}K’ \right)_+ \right]. $$
表示為 $ q(r) $ 的分佈 $ \tau^* $ . 然後 $$ \begin{align*} BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) &= \lambda \int_t^T E_t\left[ \left(S_{\tau^} - \lambda^{-1} K’ \right)_+ | \tau^ = r \right] q(r), dr \end{align*} $$
現在， $$ \begin{align*} E_t\left[ \left(S_{\tau^} - \lambda^{-1} K’ \right)_+ | \tau^ = r \right] &= E_t\left[ \left(E_{\tau^}(S_T) - \lambda^{-1} K’ \right)_+ | \tau^ = r \right] \ &\leq E_t\left[E_{\tau^} \left(S_T - \lambda^{-1} K’ \right)_+ | \tau^ = r \right] \ &= E_t\left[\left(S_T - \lambda^{-1} K’ \right)+ | \tau^* = r \right] \ &=E_t\left[\left(S_T - \lambda^{-1} K’ \right)+\right] \end{align*} $$ 其中不等式來自 Jensen 不等式，並且很明顯 $ S_T $ 獨立於 $ \tau^* $ .
因此， $$ \begin{align*} BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) &\leq \lambda \int_t^T E_t\left[ \left(S_T - \lambda^{-1} K’ \right)+ \right] q(r), dr\ &= \lambda , E_t\left[ \left(S_T - \lambda^{-1} K’ \right)+ \right] \ &= \lambda , BS\left(S_t,t,\lambda^{-1}K’ ,T,I_S (\lambda^{-1}K’)\right). \end{align*} $$
推論： 新鑄造的亞洲期權的 IV 以具有相同行使價和到期時間的普通期權的 IV 為界。
證明： 對於新鮮出爐的亞洲選項 $ t=0 $ 因此 $ \lambda = 1 $ 和 $ K=K’ $ .
至於 MainCom 的反例：儘管日曆套利通常不能應用於隨機時間，但它不是反例，因為資產的最大值 $ [0,T] $ 不能寫成積分極限等於的積分 $ 0 $ 和 $ T $ . 這意味著平均值定理甚至不能應用於 MainCom 的範例，從而導致整個隨機時間參數不適用。
請注意，邊界與此處給出的更直接的推導一致。 但是，我認為在這種情況下應用中值定理也很有趣。
事後思考：整個推導可以縮短為 $$ \begin{align*} BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) &= \lambda E_t \left[ \left(S_{\tau^} - \lambda^{-1}K’ \right)+ \right] \ & = \lambda E_t \left[ \left(E{\tau^}(S_T) - \lambda^{-1}K’ \right)+ \right] \ &\leq \lambda E_t \left[ E{\tau^} \left(S_T - \lambda^{-1}K’ \right)+ \right] \ &= \lambda E_t \left[ \left(S_T - \lambda^{-1}K’ \right)+ \right]. \end{align} $$
您的證明依賴於以下主張：讓 $ t^* $ 是一個隨機變數，取值 $ [0,T] $ ， 然後 $ E_0(S_{t^*} -K)+ \leq E_0(S_T -K)+ $ 持有。
反例：讓 $ t^* $ 成為最後一次（或第一次，無關緊要） $ S $ 達到最大 $ [0,T] $ . 它是一個隨機變數，取值 $ [0,T] $ . 然而很明顯 $ E_0(S_{t^} -K)+ \geq E_0(S_T -K)+ $ 自從 $ S_{t^} \geq S_T $ .